1672. Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija oblika $y = ax^2 + bx + c$ za $a > 0$ ima minimum u tački sa koordinatama $(x_m, y_m) ,$ koje se računaju po formulama:

x_m = -\frac{b}{2a}, \quad y_m = \frac{4ac - b^2}{4a}

Iz date funkcije očitavamo koeficijente $a ,$ $b$ i $c :$

a = 1, \quad b = -(m - 1), \quad c = m - 2

Računamo x-koordinatu minimuma u zavisnosti od parametra $m :$

x_m = -\frac{-(m - 1)}{2 \cdot 1} = \frac{m - 1}{2}

Zatim računamo y-koordinatu minimuma:

y_m = \frac{4 \cdot 1 \cdot (m - 2) - (-(m - 1))^2}{4 \cdot 1} = \frac{4m - 8 - (m^2 - 2m + 1)}{4}

Sređujemo izraz za y-koordinatu:

y_m = \frac{-m^2 + 6m - 9}{4} = -\frac{m^2 - 6m + 9}{4} = -\frac{(m - 3)^2}{4}

Da bismo našli geometrijsko mesto tačaka, potrebno je da eliminišemo parametar $m .$ Izrazićemo $m$ preko $x_m :$

x_m = \frac{m - 1}{2} \implies 2x_m = m - 1 \implies m = 2x_m + 1

Zamenjujemo dobijeni izraz za $m$ u jednačinu za $y_m :$

y_m = -\frac{(2x_m + 1 - 3)^2}{4} = -\frac{(2x_m - 2)^2}{4}

Sređujemo izraz kako bismo dobili konačnu jednačinu krive:

y_m = -\frac{4(x_m - 1)^2}{4} = -(x_m - 1)^2

Zaključujemo da je traženo geometrijsko mesto minimuma parabola čija je jednačina:

y = -(x - 1)^2

278.b