1672.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Date su funkcije: f(x)=x2−(m−1)x+m−2 f(x) = x^2 - (m - 1)x + m - 2 ; Naći geometrijsko mesto njihovih minimuma za m∈R. m \in \mathbf{R} .

REŠENJE ZADATKA

Kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c y = ax^2 + bx + c za a>0 a > 0 ima minimum u tački sa koordinatama (xm,ym), (x_m, y_m) , koje se računaju po formulama:

xm=−b2a,ym=4ac−b24ax_m = -\frac{b}{2a}, \quad y_m = \frac{4ac - b^2}{4a}

Iz date funkcije očitavamo koeficijente a, a , b b i c: c :

a=1,b=−(m−1),c=m−2a = 1, \quad b = -(m - 1), \quad c = m - 2

Računamo x-koordinatu minimuma u zavisnosti od parametra m: m :

xm=−−(m−1)2⋅1=m−12x_m = -\frac{-(m - 1)}{2 \cdot 1} = \frac{m - 1}{2}

Zatim računamo y-koordinatu minimuma:

ym=4⋅1⋅(m−2)−(−(m−1))24⋅1=4m−8−(m2−2m+1)4y_m = \frac{4 \cdot 1 \cdot (m - 2) - (-(m - 1))^2}{4 \cdot 1} = \frac{4m - 8 - (m^2 - 2m + 1)}{4}

Sređujemo izraz za y-koordinatu:

ym=−m2+6m−94=−m2−6m+94=−(m−3)24y_m = \frac{-m^2 + 6m - 9}{4} = -\frac{m^2 - 6m + 9}{4} = -\frac{(m - 3)^2}{4}

Da bismo našli geometrijsko mesto tačaka, potrebno je da eliminišemo parametar m. m . Izrazićemo m m preko xm: x_m :

xm=m−12  ⟹  2xm=m−1  ⟹  m=2xm+1x_m = \frac{m - 1}{2} \implies 2x_m = m - 1 \implies m = 2x_m + 1

Zamenjujemo dobijeni izraz za m m u jednačinu za ym: y_m :

ym=−(2xm+1−3)24=−(2xm−2)24y_m = -\frac{(2x_m + 1 - 3)^2}{4} = -\frac{(2x_m - 2)^2}{4}

Sređujemo izraz kako bismo dobili konačnu jednačinu krive:

ym=−4(xm−1)24=−(xm−1)2y_m = -\frac{4(x_m - 1)^2}{4} = -(x_m - 1)^2

Zaključujemo da je traženo geometrijsko mesto minimuma parabola čija je jednačina:

y=−(x−1)2y = -(x - 1)^2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti