1488. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Da bi data jednačina bila kvadratna, koeficijent uz $x^2$ mora biti različit od nule.

m + 2 \neq 0 \implies m \neq -2

Proveravamo diskriminantu da bismo bili sigurni da su rešenja realna. Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = [-2(m + 1)]^2 - 4(m + 2)m

Sređivanjem izraza za diskriminantu dobijamo da je uvek pozitivna, pa jednačina ima realna rešenja za svako $m \neq -2 .$

D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 2m) = 4 > 0

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine dati su sa $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} .$

x_1 + x_2 = \frac{2(m + 1)}{m + 2}, \quad x_1 x_2 = \frac{m}{m + 2}

Transformišemo dati uslov dodavanjem i oduzimanjem $2x_1x_2$ kako bismo mogli da upotrebimo Vijetove formule.

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \frac{10}{9}

Zamenjujemo izraze dobijene iz Vijetovih formula u transformisani uslov.

\left(\frac{2(m + 1)}{m + 2}\right)^2 - 2\frac{m}{m + 2} = \frac{10}{9}

Kvadriramo prvi razlomak i svodimo izraz na levoj strani na zajednički imenilac $(m + 2)^2 .$

\frac{4(m^2 + 2m + 1)}{(m + 2)^2} - \frac{2m(m + 2)}{(m + 2)^2} = \frac{10}{9}

Sređujemo brojilac na levoj strani jednakosti oduzimanjem odgovarajućih članova.

\frac{4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 4m}{(m + 2)^2} = \frac{2m^2 + 4m + 4}{(m + 2)^2}

Izjednačavamo dobijeni izraz sa desnom stranom i množimo unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka.

9(2m^2 + 4m + 4) = 10(m + 2)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani i množimo oba izraza sa odgovarajućim konstantama.

18m^2 + 36m + 36 = 10(m^2 + 4m + 4)

Sređujemo desnu stranu jednačine.

18m^2 + 36m + 36 = 10m^2 + 40m + 40

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po parametru $m .$

8m^2 - 4m - 4 = 0

Delimo celu jednačinu sa 4 radi lakšeg rešavanja.

2m^2 - m - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $m$ korišćenjem formule za kvadratnu jednačinu.

m_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}

Računamo konačna rešenja za parametar $m .$ Oba rešenja su prihvatljiva jer ispunjavaju početni uslov $m \neq -2 .$

m_1 = 1, \quad m_2 = -\frac{1}{2}

183