Žica dužine 2s: pravougaonik najveće površine

Neka su stranice pravougaonika $x$ i $y .$ Obim pravougaonika je jednak dužini žice, pa važi:

2x + 2y = 2s

Deljenjem jednačine sa 2 i izražavanjem stranice $y$ preko stranice $x ,$ dobijamo:

x + y = s \implies y = s - x

Površina pravougaonika se računa po formuli $P = x \cdot y .$ Zamenom izraza za $y$ dobijamo površinu kao funkciju od $x :$

P(x) = x(s - x) = -x^2 + sx

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $P(x) = ax^2 + bx + c ,$ gde je $a = -1 ,$ $b = s$ i $c = 0 .$ Pošto je $a < 0 ,$ funkcija ima maksimum.

P(x) = -x^2 + sx

Maksimum kvadratne funkcije se dostiže za $x = -\frac{b}{2a} .$ Računamo vrednost za $x :$

x = -\frac{s}{2(-1)} = \frac{s}{2}

Sada računamo drugu stranicu $y$ zamenom dobijene vrednosti za $x :$

y = s - x = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2}

Zaključujemo da najveću površinu ima pravougaonik čije su stranice jednake, odnosno kvadrat čija je stranica $\frac{s}{2} .$

x = y = \frac{s}{2}

284