Pravougaonik najveće površine upisan u krug

Neka su stranice upisanog pravougaonika $a$ i $b .$ Dijagonala pravougaonika upisanog u krug jednaka je prečniku kruga, pa po Pitagorinoj teoremi važi:

a^2 + b^2 = (2R)^2 = 4R^2

Izrazimo $b^2$ preko $a$ i $R :$

b^2 = 4R^2 - a^2

Površina pravougaonika je $P = a \cdot b .$ Pošto su dužine stranica pozitivne, površina će biti maksimalna kada je i njen kvadrat maksimalan. Kvadrat površine je:

P^2 = a^2 \cdot b^2

Zamenimo izraz za $b^2$ u jednačinu za kvadrat površine:

P^2 = a^2(4R^2 - a^2) = -a^4 + 4R^2 a^2

Uvedimo smenu $t = a^2 .$ Dobijamo kvadratnu funkciju po promenljivoj $t :$

f(t) = -t^2 + 4R^2 t

Kvadratna funkcija oblika $y = At^2 + Bt + C$ za $A < 0$ dostiže maksimum za $t = -\frac{B}{2A} .$ U našem slučaju je $A = -1$ i $B = 4R^2 ,$ pa računamo:

t = -\frac{4R^2}{2(-1)} = 2R^2

Vratimo smenu $t = a^2$ da bismo našli stranicu $a :$

a^2 = 2R^2 \implies a = R\sqrt{2}

Sada računamo stranicu $b :$

b^2 = 4R^2 - 2R^2 = 2R^2 \implies b = R\sqrt{2}

Zaključujemo da je pravougaonik najveće površine upisan u krug zapravo kvadrat sa stranicom $a = b = R\sqrt{2} .$ Njegova maksimalna površina iznosi:

P = a \cdot b = R\sqrt{2} \cdot R\sqrt{2} = 2R^2

Započni učenje

Privatni časovi

285

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci