Maksimum površine: pravougaonik upisan u trougao

Neka je osnovica trougla $AB = c$ i odgovarajuća visina $h_c = h .$ Obeležimo stranice upisanog pravougaonika sa $MN = PQ = x$ i $MQ = NP = y .$

Površina pravougaonika koju želimo da maksimizujemo je:

P = x \cdot y

Trougao $QPC$ je sličan trouglu $ABC$ jer su im odgovarajuće stranice paralelne ( $PQ \parallel AB$ ). Visina trougla $QPC$ koja odgovara stranici $PQ$ je $h - y .$

\triangle QPC \sim \triangle ABC

Iz sličnosti trouglova sledi proporcija odgovarajućih stranica i visina:

\frac{PQ}{AB} = \frac{h - y}{h}

Zamenom poznatih oznaka u proporciju dobijamo:

\frac{x}{c} = \frac{h - y}{h}

Izražavamo stranicu $y$ preko $x :$

h - y = \frac{h}{c}x \implies y = h - \frac{h}{c}x

Zamenjujemo izraz za $y$ u formulu za površinu pravougaonika, čime dobijamo površinu kao funkciju od $x :$

P(x) = x \left( h - \frac{h}{c}x \right) = -\frac{h}{c}x^2 + hx

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $P(x) = ax^2 + bx + c_0 ,$ gde je $a = -\frac{h}{c} ,$ $b = h$ i $c_0 = 0 .$ Pošto je $a < 0 ,$ funkcija dostiže svoj maksimum u temenu parabole.

x = -\frac{b}{2a}

Računamo vrednost $x$ za koju je površina maksimalna:

x = -\frac{h}{2 \left( -\frac{h}{c} \right)} = \frac{c}{2}

Sada računamo odgovarajuću vrednost za $y :$

y = h - \frac{h}{c} \cdot \frac{c}{2} = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2}

Pravougaonik ima najveću površinu kada su njegove stranice jednake polovini osnovice i polovini visine trougla. Maksimalna površina iznosi:

P_{max} = \frac{c}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ch}{4}

Započni učenje

Privatni časovi

287

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci