PrethodniSledeći
1677.

287

TEKST ZADATKA

U trougao ABC ABC upisati pravougaonik MNPQ MNPQ najveće površine, tako da je M,N∈AB, M, N \in AB , P∈BC, P \in BC , Q∈AC. Q \in AC .

REŠENJE ZADATKA

Neka je osnovica trougla AB=c AB = c i odgovarajuća visina hc=h. h_c = h . Obeležimo stranice upisanog pravougaonika sa MN=PQ=x MN = PQ = x i MQ=NP=y. MQ = NP = y .

Površina pravougaonika koju želimo da maksimizujemo je:

P=x⋅yP = x \cdot y

Trougao QPC QPC je sličan trouglu ABC ABC jer su im odgovarajuće stranice paralelne (PQ∥AB PQ \parallel AB ). Visina trougla QPC QPC koja odgovara stranici PQ PQ je h−y. h - y .

△QPC∼△ABC\triangle QPC \sim \triangle ABC

Iz sličnosti trouglova sledi proporcija odgovarajućih stranica i visina:

PQAB=h−yh\frac{PQ}{AB} = \frac{h - y}{h}

Zamenom poznatih oznaka u proporciju dobijamo:

xc=h−yh\frac{x}{c} = \frac{h - y}{h}

Izražavamo stranicu y y preko x: x :

h−y=hcx  ⟹  y=h−hcxh - y = \frac{h}{c}x \implies y = h - \frac{h}{c}x

Zamenjujemo izraz za y y u formulu za površinu pravougaonika, čime dobijamo površinu kao funkciju od x: x :

P(x)=x(h−hcx)=−hcx2+hxP(x) = x \left( h - \frac{h}{c}x \right) = -\frac{h}{c}x^2 + hx

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika P(x)=ax2+bx+c0, P(x) = ax^2 + bx + c_0 , gde je a=−hc, a = -\frac{h}{c} , b=h b = h i c0=0. c_0 = 0 . Pošto je a<0, a < 0 , funkcija dostiže svoj maksimum u temenu parabole.

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Računamo vrednost x x za koju je površina maksimalna:

x=−h2(−hc)=c2x = -\frac{h}{2 \left( -\frac{h}{c} \right)} = \frac{c}{2}

Sada računamo odgovarajuću vrednost za y: y :

y=h−hc⋅c2=h−h2=h2y = h - \frac{h}{c} \cdot \frac{c}{2} = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2}

Pravougaonik ima najveću površinu kada su njegove stranice jednake polovini osnovice i polovini visine trougla. Maksimalna površina iznosi:

Pmax=c2⋅h2=ch4P_{max} = \frac{c}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ch}{4}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu