Maksimum kvadratne funkcije: površina trougla

Neka su katete pravouglog trougla obeležene sa $a$ i $b .$ Prema uslovu zadatka, njihov zbir je jednak $m .$

a + b = m

Izražavamo katetu $b$ preko katete $a .$

b = m - a

Površina pravouglog trougla se računa po formuli:

P = \frac{a \cdot b}{2}

Zamenjujemo izraz za $b$ u formulu za površinu kako bismo dobili površinu kao funkciju od $a .$

P(a) = \frac{a(m - a)}{2} = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{m}{2}a

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $P(a) = Aa^2 + Ba + C ,$ gde su koeficijenti:

A = -\frac{1}{2}, \quad B = \frac{m}{2}, \quad C = 0

Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan ( $A < 0$ ), kvadratna funkcija dostiže svoj maksimum u temenu parabole. Vrednost za koju se dostiže maksimum računamo po formuli $a = -\frac{B}{2A} .$

a = -\frac{\frac{m}{2}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}

Sređivanjem izraza dobijamo dužinu katete $a$ za koju je površina maksimalna.

a = -\frac{\frac{m}{2}}{-1} = \frac{m}{2}

Sada računamo dužinu druge katete $b$ zamenom vrednosti za $a$ u izraz $b = m - a .$

b = m - \frac{m}{2} = \frac{m}{2}

Zaključujemo da pravougli trougao ima najveću površinu kada su mu katete jednake, odnosno kada je jednakokrako-pravougli. Maksimalna površina iznosi:

P_{max} = \frac{\frac{m}{2} \cdot \frac{m}{2}}{2} = \frac{m^2}{8}

Započni učenje

Privatni časovi

286.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci