1681. Kvadratna funkcija

Neka su traženi sabirci brojevi $x$ i $y .$ Njihov zbir je jednak $k .$

x + y = k

Iz ove jednačine možemo izraziti sabirak $y$ preko $x .$

y = k - x

Proizvod ova dva sabirka obeležićemo sa $P .$

P = x \cdot y

Zamenom $y = k - x$ u izraz za proizvod, dobijamo funkciju koja zavisi samo od $x .$

P(x) = x(k - x) = -x^2 + kx

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $P(x) = ax^2 + bx + c ,$ gde su koeficijenti:

a = -1, \quad b = k, \quad c = 0

Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan ( $a < 0$ ), kvadratna funkcija dostiže svoj maksimum u temenu parabole.

x = -\frac{b}{2a}

Računamo vrednost za $x$ za koju se dostiže maksimum.

x = -\frac{k}{2 \cdot (-1)} = \frac{k}{2}

Sada računamo drugi sabirak $y .$

y = k - x = k - \frac{k}{2} = \frac{k}{2}

Zaključujemo da broj $k$ treba razložiti na dva jednaka sabirka kako bi njihov proizvod bio najveći.

x = \frac{k}{2}, \quad y = \frac{k}{2}

281