Minimum zbira kvadrata: aritmetička sredina a, b, c

Prvo ćemo transformisati funkciju $f(x)$ kvadriranjem binoma:

f(x) = (x^2 - 2ax + a^2) + (x^2 - 2bx + b^2) + (x^2 - 2cx + c^2)

Grupišemo članove uz $x^2 ,$ $x$ i slobodne članove:

f(x) = 3x^2 - 2(a + b + c)x + (a^2 + b^2 + c^2)

Ovo je kvadratna funkcija oblika $f(x) = Ax^2 + Bx + C ,$ gde je:

A = 3, \quad B = -2(a + b + c), \quad C = a^2 + b^2 + c^2

Budući da je vodeći koeficijent $A = 3 > 0 ,$ parabola je okrenuta otvorom nagore, što znači da funkcija ima minimum u temenu parabole.

Vrednost $x$ za koju se dostiže minimum (apsisa temena) računa se po formuli:

x_{min} = -\frac{B}{2A}

Zamenjujemo vrednosti $A$ i $B :$

x = -\frac{-2(a + b + c)}{2 \cdot 3}

Sređivanjem izraza dobijamo konačnu vrednost $x$ koja predstavlja aritmetičku sredinu brojeva $a ,$ $b$ i $c :$

x = \frac{a + b + c}{3}

264