1678. Kvadratna funkcija

Da bi kvadratna funkcija bila negativna za svako realno $x ,$ moraju biti ispunjena dva uslova: vodeći koeficijent (uz $x^2$ ) mora biti negativan i diskriminanta mora biti negativna.

\begin{cases} a < 0 \\ D < 0 \end{cases}

Postavljamo i rešavamo prvi uslov, $a < 0 .$

m - 1 < 0 \implies m < 1

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac .$

D = [-2(m + 1)]^2 - 4(m - 1)m = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - m) = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 4m = 12m + 4

Postavljamo i rešavamo drugi uslov, $D < 0 .$

12m + 4 < 0 \implies 12m < -4 \implies m < -\frac{1}{3}

Presek uslova $m < 1$ i $m < -1/3$ daje konačan uslov za parametar $m$ tako da funkcija bude uvek negativna.

m \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right)

Sada tražimo parabolu koja prolazi kroz tačku $A(-1, -7) .$ Zamenjujemo koordinate tačke u jednačinu funkcije.

f(-1) = -7 \implies (m - 1)(-1)^2 - 2(m + 1)(-1) + m = -7

Rešavamo dobijenu jednačinu po $m .$

m - 1 + 2m + 2 + m = -7 \implies 4m + 1 = -7 \implies 4m = -8 \implies m = -2

Proveravamo da li $m = -2$ pripada nađenom intervalu $m \in (-\infty, -1/3) .$ Pošto pripada, zamenjujemo $m = -2$ u početnu funkciju da bismo dobili konkretnu parabolu.

f(x) = (-2 - 1)x^2 - 2(-2 + 1)x + (-2) = -3x^2 + 2x - 2

Tražimo teme parabole $T(x_T, y_T) .$ Prvo računamo x-koordinatu temena po formuli $x_T = -\frac{b}{2a} .$

x_T = -\frac{2}{2(-3)} = \frac{1}{3}

Zatim računamo y-koordinatu temena po formuli $y_T = \frac{4ac - b^2}{4a} .$

y_T = \frac{4(-3)(-2) - 2^2}{4(-3)} = \frac{24 - 4}{-12} = \frac{20}{-12} = -\frac{5}{3}

Koordinate temena tražene parabole su:

T\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)

280