Skup parabola: zajednička tačka svih grafika

Rešavamo prvi deo zadatka (1°). Da bi kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$ bila strogo manja od nule za svako realno $x ,$ moraju biti ispunjeni uslovi da je parabola okrenuta nadole i da nema realne korene (ne seče x-osu).

a < 0 \quad \text{i} \quad D < 0

Iz date funkcije $f(x) = (m + 1)x^2 - 2(m - 1)x + m - 5$ očitavamo koeficijente:

a = m + 1, \quad b = -2(m - 1), \quad c = m - 5

Primenjujemo prvi uslov $a < 0 :$

m + 1 < 0 \implies m < -1

Računamo diskriminantu $D = b^2 - 4ac :$

D = [-2(m - 1)]^2 - 4(m + 1)(m - 5)

Sređujemo izraz za diskriminantu:

D = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 4m - 5) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 16m + 20 = 8m + 24

Primenjujemo drugi uslov $D < 0 :$

8m + 24 < 0 \implies 8m < -24 \implies m < -3

Rešenje prvog dela zadatka je presek uslova $m < -1$ i $m < -3 :$

m \in (-\infty, -3)

Rešavamo drugi deo zadatka (2°). Koordinate temena parabole $T(x_v, y_v)$ date su formulama:

x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}

Zamenjujemo koeficijente da bismo izrazili $x_v$ preko $m :$

x_v = -\frac{-2(m - 1)}{2(m + 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}

Zamenjujemo koeficijente da bismo izrazili $y_v$ preko $m :$

y_v = -\frac{8m + 24}{4(m + 1)} = -\frac{4(2m + 6)}{4(m + 1)} = -\frac{2m + 6}{m + 1}

Da bismo našli vezu između $x_v$ i $y_v$ (jednačinu krive kojoj pripadaju temena), izražavamo $m$ iz jednačine za $x_v :$

x_v(m + 1) = m - 1 \implies x_v m + x_v = m - 1 \implies m(x_v - 1) = -x_v - 1 \implies m = \frac{x_v + 1}{1 - x_v}

Zamenjujemo dobijeno $m$ u izraz za $y_v :$

y_v = -\frac{2\left(\frac{x_v + 1}{1 - x_v}\right) + 6}{\frac{x_v + 1}{1 - x_v} + 1}

Sređujemo dvojni razlomak svodeći brojilac i imenilac na zajednički imenilac:

y_v = -\frac{\frac{2x_v + 2 + 6(1 - x_v)}{1 - x_v}}{\frac{x_v + 1 + 1 - x_v}{1 - x_v}} = -\frac{\frac{-4x_v + 8}{1 - x_v}}{\frac{2}{1 - x_v}}

Skraćivanjem dobijamo jednačinu geometrijskog mesta temena:

y_v = -\frac{-4x_v + 8}{2} = -(-2x_v + 4) = 2x_v - 4

Geometrijsko mesto temena je prava $y = 2x - 4 .$ Pošto je $m \in \mathbf{R} \setminus \{-1\}$ (da bi funkcija bila kvadratna), iz $m = \frac{x + 1}{1 - x}$ sledi da je $x \neq 1 ,$ pa tačka $(1, -2)$ ne pripada ovom geometrijskom mestu.

y = 2x - 4, \quad x \neq 1

Rešavamo treći deo zadatka (3°). Da bismo našli tačku koja pripada svim parabolama, napisaćemo jednačinu tako da grupišemo članove uz parametar $m .$

y = m x^2 + x^2 - 2mx + 2x + m - 5

Grupišemo članove koji sadrže $m$ i one koji ne sadrže:

m(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x - 5 - y) = 0

Da bi jednačina važila za svako $m \in \mathbf{R} ,$ izraz uz $m$ i slobodan član moraju istovremeno biti jednaki nuli:

\begin{cases} x^2 - 2x + 1 = 0 \\ x^2 + 2x - 5 - y = 0 \end{cases}

Rešavamo prvu jednačinu sistema:

(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1

Zamenjujemo $x = 1$ u drugu jednačinu da bismo našli $y :$

1^2 + 2(1) - 5 - y = 0 \implies 1 + 2 - 5 - y = 0 \implies y = -2

Zajednička tačka za sve funkcije datog skupa postoji i njene koordinate su:

P(1, -2)

Započni učenje

Privatni časovi

279.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci