1681.

281

TEKST ZADATKA

Razložiti broj k k na dva sabirka, tako da njihov proizvod bude najveći.

REŠENJE ZADATKA

Neka su traženi sabirci brojevi x x i y. y . Njihov zbir je jednak k. k .

x+y=kx + y = k

Iz ove jednačine možemo izraziti sabirak y y preko x. x .

y=k−xy = k - x

Proizvod ova dva sabirka obeležićemo sa P. P .

P=x⋅yP = x \cdot y

Zamenom y=k−x y = k - x u izraz za proizvod, dobijamo funkciju koja zavisi samo od x. x .

P(x)=x(k−x)=−x2+kxP(x) = x(k - x) = -x^2 + kx

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika P(x)=ax2+bx+c, P(x) = ax^2 + bx + c , gde su koeficijenti:

a=−1,b=k,c=0a = -1, \quad b = k, \quad c = 0

Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan (a<0 a < 0 ), kvadratna funkcija dostiže svoj maksimum u temenu parabole.

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Računamo vrednost za x x za koju se dostiže maksimum.

x=−k2⋅(−1)=k2x = -\frac{k}{2 \cdot (-1)} = \frac{k}{2}

Sada računamo drugi sabirak y. y .

y=k−x=k−k2=k2y = k - x = k - \frac{k}{2} = \frac{k}{2}

Zaključujemo da broj k k treba razložiti na dva jednaka sabirka kako bi njihov proizvod bio najveći.

x=k2,y=k2x = \frac{k}{2}, \quad y = \frac{k}{2}