1680.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Od svih pravouglih trouglova čiji je zbir kateta jednak m, m , odrediti onaj kod koga je: površina najveća.

REŠENJE ZADATKA

Neka su katete pravouglog trougla obeležene sa a a i b. b . Prema uslovu zadatka, njihov zbir je jednak m. m .

a+b=ma + b = m

Izražavamo katetu b b preko katete a. a .

b=m−ab = m - a

Površina pravouglog trougla se računa po formuli:

P=a⋅b2P = \frac{a \cdot b}{2}

Zamenjujemo izraz za b b u formulu za površinu kako bismo dobili površinu kao funkciju od a. a .

P(a)=a(m−a)2=−12a2+m2aP(a) = \frac{a(m - a)}{2} = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{m}{2}a

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika P(a)=Aa2+Ba+C, P(a) = Aa^2 + Ba + C , gde su koeficijenti:

A=−12,B=m2,C=0A = -\frac{1}{2}, \quad B = \frac{m}{2}, \quad C = 0

Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan (A<0 A < 0 ), kvadratna funkcija dostiže svoj maksimum u temenu parabole. Vrednost za koju se dostiže maksimum računamo po formuli a=−B2A. a = -\frac{B}{2A} .

a=−m22⋅(−12)a = -\frac{\frac{m}{2}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}

Sređivanjem izraza dobijamo dužinu katete a a za koju je površina maksimalna.

a=−m2−1=m2a = -\frac{\frac{m}{2}}{-1} = \frac{m}{2}

Sada računamo dužinu druge katete b b zamenom vrednosti za a a u izraz b=m−a. b = m - a .

b=m−m2=m2b = m - \frac{m}{2} = \frac{m}{2}

Zaključujemo da pravougli trougao ima najveću površinu kada su mu katete jednake, odnosno kada je jednakokrako-pravougli. Maksimalna površina iznosi:

Pmax=m2⋅m22=m28P_{max} = \frac{\frac{m}{2} \cdot \frac{m}{2}}{2} = \frac{m^2}{8}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti