Izvod drugog reda: koren iz 1 − x kvadrat puta arcsin x

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod funkcije:

y=\sqrt{1-x^2}*\arcsin{x}

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(\sqrt{1-x^2}*\arcsin{x})'

Primenjuje se formula za izvod proizvoda:

y'=(\sqrt{1-x^2})'*\arcsin{x}*\sqrt{1-x^2}*(\arcsin{x})'

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y'=\frac{-\cancel{2}x}{\cancel{2}\sqrt{1-x^2}}*\arcsin{x}+\cancel{\sqrt{1+x^2}}*\frac{1}{\cancel{\sqrt{1-x^2}}}

y'=\frac{-x*\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+1

Izračunati izvod prvog izvoda:

y''=(\frac{-x*\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+1)'

Primenjuje se formula za izvod količnika:

y''=\frac{(-x\arcsin{x})'\sqrt{1-x^2}+x\arcsin{x}*(\sqrt{1-x^2})'}{1-x^2}+0

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije i za izvod proizvoda:

y''=\frac{-(\arcsin{x}+x*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})*\sqrt{1-x^2}+\frac{-2x^2\arcsin{x}}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}

Sređuje se izraz:

y''=\frac{-\sqrt{1-x^2}*\arcsin{x}-x-\frac{x^2\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}

y''=\frac{\frac{-(1-x^2)\arcsin{x}-x\sqrt{1-x^2}-x^2\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}

y''=\frac{-\arcsin{x} +\cancel{x^2\arcsin{x}}-x\sqrt{1-x^2}-\cancel{x^2\arcsin{x}}}{\sqrt{(1-x^2)^3}}

y''=-\frac{\arcsin{x}+x\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{(1-x^2)^3}}

Izvod višeg reda 16