Izvod drugog reda funkcije x na x

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod:

y=x^x

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(x^x)'

Da bi traženje prvog izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y}=\ln{x^x}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=x\ln{x}

Računanjem prvog izvoda zadatog izraza dobija se:

\frac{1}{y}*y'=\ln{x}+x*\frac{1}{x}

Obe strane jednačine množe se sa $y$ kako bi se izolovalo traženo $y'$

y'=x^x(\ln{x}+1)

Izračunati izvod prvog izvoda:

y''=(x^x(\ln{x}+1))'

Primenjuje se formula za izvod proizvoda:

y''=(x^x)'(\ln{x}+1)+x^x(\ln{x}+1)'

Primenjuje se formula za složeni izvod:

y''=x^x(\ln{x}+1)(\ln{x}+1)+x^x(\frac{1}{x}+0)

y''=x^x((\ln{x}+1)^2+\frac{1}{x})

Izvod višeg reda 17