Logaritamski izvod: opšta formula za f(x) na g(x)

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(f(x))^{g(x)}

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje prvog izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane jednačine:

\ln{y} = \ln{f(x)^{g(x)}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}= g(x)*\ln{f(x)}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x$

(\ln{y})'= (g(x)*\ln{f(x)})'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y}*y' = g'(x)*\ln{f(x)}+g(x)*\frac{1}{f(x)}*f'(x)

Kako bi se izolovalo traženo $y',$ obe strane jednačine množe se sa $y$

y' = y*[g'(x)*\ln{f(x)}+\frac{g(x)*f'(x)}{f(x)}]

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=\ln{f(x)^{g(x)}}.$

y' = f(x)^{g(x)}*[g'(x)*\ln{f(x)}+\frac{g(x)*f'(x)}{f(x)}]

Izvod eksponencijalnih funkcija 1