Podeli

90.
Složeni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti izvod:

(\sqrt{x+a}-\ln{(a+\sqrt{x+a})})'

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za izvod razlike: $(f(x)-g(x))' = f'(x) - g'(x)$

(\sqrt{x+a}-\ln{(a+\sqrt{x+a})})' = (\sqrt{x+a})'-(\ln{(a+\sqrt{x+a})})'

Izvod $(\sqrt{x+a})'$ računa se primenom formule za izvod složene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x),$ gde su: unutrašnja funkcija $g(x) = (x+a)$ i spoljašnja funkcija $f(u) = \sqrt{u} ,$ pri čemu je $u=g(x).$

(\sqrt{x+a})' = \frac{1}{2\sqrt{x+a}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+a}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvod spoljašnje funkcije po $u$ je:

f'(u)=(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Zameniti $u=(x+a)$

f'(g(x)) = \frac{1}{2\sqrt{x+a}}

Izvod unutrašnje funkcije po $u$ je:

g'(x) = (x+a)' = x' + a' = 1+0 = 1

Izvod $(\ln{(a+\sqrt{x+a})})'$ računa se primenom formule za izvod složene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x),$ gde su: unutrašnja funkcija $g(x) = (a+\sqrt{x+a})$ i spoljašnja funkcija $f(u) = \ln{u} ,$ pri čemu je $u=g(x).$

(\ln{(a+\sqrt{x+a})})' =\frac{1}{a+\sqrt{x+a}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+a}} = \frac{1}{2\sqrt{x+a}(a+\sqrt{x+a})}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Izvod spoljašnje funkcije po $u$ je:

f'(u)=(\ln{u})' = \frac{1}{u}

Zameniti $u=a+\sqrt{x+a}$

f'(g(x)) = \frac{1}{a+\sqrt{x+a}}

Izvod unutrašnje funkcije po $u$ je:

g'(x) = (a+\sqrt{x+a})' = a' + (\sqrt{x+a})' = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x+a}} = \frac{1}{2\sqrt{x+a}}

Izračunate izvode: $(\sqrt{x+a})'$ i $(\ln{(a+\sqrt{x+a})})'$ vratiti u početni izvod.

(\sqrt{x+a}-\ln{(a+\sqrt{x+a})})' = \frac{1}{2\sqrt{x+a}}-\frac{1}{2\sqrt{x+a}(a+\sqrt{x+a})}

Svesti razliku razlomaka na zajednički imenilac.

\frac{a+\sqrt{x+a} - 1}{2\sqrt{x+a} \space (a+\sqrt{x+a})}

90.Složeni izvod

90.
Složeni izvod