130. Eksponencijalni izvod

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=(1+\frac{1}{x})^x

REŠENJE ZADATKA

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije uzima se prirodni logaritam obe strane jednačine:

\ln{y}=\ln{(1+\frac{1}{x})^x}

Primenjuje se svojstvo logaritma definisano formulom: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=x*\ln({x+\frac{1}{x})}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x:$

(\ln{y})'=(x*\ln({x+\frac{1}{x})})'

Računanjem izvoda se dobija:

\frac{1}{y}*y'=\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1}

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y:$

y'=y*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=(1+\frac{1}{x})^x$

y'=(1+\frac{1}{x})^x*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=(1+\frac{1}{x})^x$

y'=(1+\frac{1}{x})^x*(\ln{(1+\frac{1}{x})}-\frac{1}{x+1})

Izvodi eksponencijalnih funkcija 4