Logaritamski izvod: sin od x na sin x

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=\sin{x^{\sin{x}}}

REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se pravilo za složen izvod definisano formulom $(f(g(x)))' = f'(g(x)) *g'(x)$

(\sin{x^{\sin{x}}})'=\cos{x^{\sin{x}}}*(x^{\sin{x}})'

Nova funkcija $y_{1}$ je:

x^{\sin{x}}

Da bi traženje izvoda bilo jednostavnije uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y_{1}}=\ln{x^{\sin{x}}}

Primenjuje se svojstvo logaritma definisano formulom: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y_{1}}=\sin{x}*\ln{x}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine:

(\ln{y_{1}})'=(\sin{x}*\ln{x})'

Računanjem izvoda dobija se:

\frac{1}{y_{1}}*y_{1}'=\cos{x}*\ln{x}+\sin{x}*\frac{1}{x}

Kako bi se izolovalo $y_{1}'$ obe strane jednačine množe se sa $y_{1}$

y_{1}'=y_{1}*(\cos{x}*\ln{x}+\sin{x}*\frac{1}{x})

Zamenjuje se $y_{1}$ iz početne funkcije:

y_{1}'=x^{\sin{x}} *(\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x})

Uvrštava se $y_{1}'$ u originalnu fonkciju $y':$

y'=\cos{x^{\sin{x}}}*y_{1}'

Zamenjuje se $y_{1}'$ u originalnu funkciju:

y'=\cos{x^{\sin{x}}}*x^{\sin{x}} *(\cos{x}*\ln{x}+\frac{\sin{x}}{x})

Izvod eksponencijalnih funkcija 3