236.

Izvod višeg reda 15

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod:

y=arcsin⁡(a∗sin⁡x)y=\arcsin{(a*\sin{x})}
REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y′=(arcsin⁡(a∗sin⁡x))′y'=(\arcsin{(a*\sin{x})})'

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y′=11−(asin⁡x)2∗(asin⁡x)′y'=\frac{1}{\sqrt{1-(a\sin{x})^2}}*(a\sin{x})'
y′=acos⁡x1−a2sin⁡2x=acos⁡x(1−asin⁡x)(1+asin⁡x)y'=\frac{a\cos{x}}{\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}=\frac{a\cos{x}}{\sqrt{(1-a\sin{x})(1+a\sin{x})}}

Izračunati izvod prvog izvoda:

y′′=(acos⁡x(1−asin⁡x)(1+asin⁡x))′y''=(\frac{a\cos{x}}{\sqrt{(1-a\sin{x})(1+a\sin{x})}})'

Primenjuje se formula za izvod količnika:

y′′=(acos⁡x)′1−a2sin⁡2x−acos⁡x(1−a2sin⁡2x)′(1−a2sin⁡2x)2y''=\frac{(a\cos{x})'\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}-a\cos{x}(\sqrt{1-a^2\sin^2{x}})'}{(\sqrt{1-a^2\sin^2{x}})^2}

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y′′=−asin⁡x1−a2sin⁡2x−acos⁡x∗(1−a2sin⁡2x)′21−a2sin⁡2x1−a2sin⁡2xy''=\frac{-a\sin{x}\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}-a\cos{x}*\frac{(1-a^2\sin^2{x})'}{2\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}}{1-a^2\sin^2{x}}

Sređuje se izraz:

y′′=−asin⁡x1−a2sin⁡2x−acos⁡x∗a22sin⁡xcos⁡x21−a2sin⁡2x1−a2sin⁡2xy''=\frac{-a\sin{x}\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}-a\cos{x}*\frac{a^22\sin{x}\cos{x}}{2\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}}{1-a^2\sin^2{x}}
y′′=−asin⁡x(1−a2sin⁡2x)−a3sin⁡xcos⁡2x1−a2sin⁡2x1−a2sin⁡2xy''=\frac{\frac{-a\sin{x}(1-a^2\sin^2{x})-a^3\sin{x}\cos^2{x}}{\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}}{1-a^2\sin^2{x}}
y′′=asin⁡x(−1+a2sin⁡2x+a2cos⁡2x)(1−a2sin⁡2x)3y''=\frac{a\sin{x}(-1+a^2\sin^2{x}+a^2\cos^2{x})}{\sqrt{(1-a^2\sin^2{x})^3}}
y′′=asin⁡x(a2(sin⁡2x+cos⁡2x)−1)(1−a2sin⁡2x)3y''=\frac{a\sin{x}(a^2(\sin^2{x}+\cos^2{x})-1)}{\sqrt{(1-a^2\sin^2{x})^3}}