Izvod drugog reda: arcsin (a puta sin x)

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod:

y=\arcsin{(a*\sin{x})}

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(\arcsin{(a*\sin{x})})'

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y'=\frac{1}{\sqrt{1-(a\sin{x})^2}}*(a\sin{x})'

y'=\frac{a\cos{x}}{\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}=\frac{a\cos{x}}{\sqrt{(1-a\sin{x})(1+a\sin{x})}}

Izračunati izvod prvog izvoda:

y''=(\frac{a\cos{x}}{\sqrt{(1-a\sin{x})(1+a\sin{x})}})'

Primenjuje se formula za izvod količnika:

y''=\frac{(a\cos{x})'\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}-a\cos{x}(\sqrt{1-a^2\sin^2{x}})'}{(\sqrt{1-a^2\sin^2{x}})^2}

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y''=\frac{-a\sin{x}\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}-a\cos{x}*\frac{(1-a^2\sin^2{x})'}{2\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}}{1-a^2\sin^2{x}}

Sređuje se izraz:

y''=\frac{-a\sin{x}\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}-a\cos{x}*\frac{a^22\sin{x}\cos{x}}{2\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}}{1-a^2\sin^2{x}}

y''=\frac{\frac{-a\sin{x}(1-a^2\sin^2{x})-a^3\sin{x}\cos^2{x}}{\sqrt{1-a^2\sin^2{x}}}}{1-a^2\sin^2{x}}

y''=\frac{a\sin{x}(-1+a^2\sin^2{x}+a^2\cos^2{x})}{\sqrt{(1-a^2\sin^2{x})^3}}

y''=\frac{a\sin{x}(a^2(\sin^2{x}+\cos^2{x})-1)}{\sqrt{(1-a^2\sin^2{x})^3}}

Izvod višeg reda 15