Izvod drugog reda funkcije 1 kroz (a + koren iz x)

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod funkcije:

y=\frac{1}{a+\sqrt{x}}

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(\frac{1}{a+\sqrt{x}})'

Navedeni izraz se može drugačije zpisati:

y'=((a+\sqrt{x})^{-1})'

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y'=-1(a+\sqrt{x})^{-1-1}*(a+\sqrt{x})'

Sređuje se izraz:

y'=-(a+\sqrt{x})^{-2}*(0+\frac{1}{2\sqrt{x}})

y'=-\frac{1}{(a+\sqrt{x})^2*2\sqrt{x}}

Računa se izvod prvog izvod:

y''=(-\frac{1}{2}(a+\sqrt{x})^{-2}*(\sqrt{x})^{-1})'

Primenjuje se formula za izvod proizvoda:

y''=-\frac{1}{2}(((a+\sqrt{x})^{-2})'*\sqrt{x}+(a+\sqrt{x})^{-2}*(\sqrt{x})')

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y''=-\frac{1}{2}(-2(a+\sqrt{x})^{-3}*(a+\sqrt{x})'*(\sqrt{x})^{-1}+(a+\sqrt{x})^{-2}*(-1\sqrt{x})^{-2}*(\sqrt{x})'

Sređuje se izraz:

y''=-\frac{1}{2}(-2(a+\sqrt{x})^{-3}*\frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}*(\sqrt{x})^{-1}-(a+\sqrt{x})^{-2}*(\sqrt{x})^{-2}*\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})

y''=-\frac{1}{2}(-\cancel{2}(a+\sqrt{x})^{-3}*\frac{1}{\cancel{2}}x^{-1}-(a+\sqrt{x})^{-2}*\frac{1}{2}*x^{-\frac{5}{2}})

y''=-\frac{1}{2}(\frac{-1}{x(a+\sqrt{x})^3}-\frac{1}{2(a+\sqrt{x})^2*x^2\sqrt{x}})

y''=-\frac{1}{2}*\frac{-2\sqrt{x}-(a+\sqrt{x})}{2(a+\sqrt{x})^3x\sqrt{x}}=-\frac{-2\sqrt{x}-a-\sqrt{x}}{4(a+\sqrt{x})^3*x\sqrt{x}}

y''=-\frac{-3\sqrt{x}-a}{4(a+\sqrt{x})^3*x\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}+a}{4x\sqrt{x}(a+\sqrt{x})^3}

Izvod višeg reda 14