Izvod drugog reda funkcije e na koren iz x

TEKST ZADATKA

Izračunati drugi izvod funkcije:

y=e^{\sqrt{x}}

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(e^{\sqrt{x}})'

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y'=e^{\sqrt{x}}*(\sqrt{x})'=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

Izračunati izvod prvog izvoda:

y''=(\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}})'

Primenjuje se formula za formula za izvod količnika:

y''=\frac{(e^{\sqrt{x}})'*2\sqrt{x}-e^{\sqrt{x}}*(2\sqrt{x})'}{(2\sqrt{x})^2}

Sređuje se izraz:

y''=\frac{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\cancel{2\sqrt{x}}}*\cancel{2\sqrt{x}}-e^{\sqrt{x}}*\cancel{2}*\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}}{4x}

y''=\frac{e^{\sqrt{x}}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}{4x}=e^{\sqrt{x}}*\frac{1-\frac{\sqrt{x}}{x}}{4x}

y''=e^{\sqrt{x}}*\frac{\frac{x-\sqrt{x}}{x}}{4x}=e^{\sqrt{x}}*\frac{x-\sqrt{x}}{4x^2}

y''=e^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{4x^2}=e^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}-1}{4x^{2-\frac{1}{2}}}

y''=e^{\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}-1}{4x^{\frac{3}{2}}}

Izvod višeg reda 13