Izvod drugog reda: ln (x + koren iz 1 + x kvadrat)

TEKST ZADATKA

Odrediti drugi izvod funkcije:

y=\ln{(x+\sqrt{1+x^2}})

Odrediti drugi izvod funkcije:

y=\ln{(x+\sqrt{1+x^2}})

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(\ln{(x+\sqrt{1+x^2}}))'

Primenjuje se formula za izvod složene funkcije:

y'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}*(x+\sqrt{1+x^2})'

Sređuje se izraz:

y'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}*(1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}(1+x^2)'

y'=\frac{1}{\cancel{x+\sqrt{1+x^2}}}*\frac{\cancel{2}*\cancel{(\sqrt{1+x^2+x)}}}{\cancel{2}\sqrt{1+x^2}}

y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}

Izračunati izvod prvog izvoda:

y''=((1+x^2)^{-\frac{1}{2}})'

Primenjuje se formula izvod složene funkcije:

y''=-\frac{1}{2}*(1+x^2)^{-\frac{1}{2}-1}*(1+x^2)'

Sređuje se izraz:

y''=-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}*2x

y''=-\frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}}

Izvod višeg reda 12