Logaritamski izvod: kubni koren složenog razlomka

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod:

y=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x}*\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[3]{x-2}}}

REŠENJE ZADATKA

Sređuje se izraz:

y=(\frac{x^{\frac{1}{2}}*(x-1)^{\frac{1}{4}}}{(x-2)^{\frac{1}{3}}})^{\frac{1}{3}}

y=\frac{(x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}*((x-1)^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}}{((x-2)^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}}

y=\frac{x^{\frac{1}{6}}*(x-1)^{\frac{1}{12}}}{(x-2)^{\frac{1}{9}}}

Da bi traženje prvog izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y}=\ln{\frac{x^{\frac{1}{6}}*(x-1)^{\frac{1}{12}}}{(x-2)^{\frac{1}{9}}}}

Primenjuje se formula za logaritam proizvoda: $\ln{ab}=\ln{a}+\ln{b}$ i logaritam količnika: $\ln{\frac{a}{b}}=\ln{a}-\ln{b}$

\ln{y}=\ln{x^{\frac{1}{6}}}+\ln{(x-1)^{\frac{1}{12}}}-\ln{(x-2)^{\frac{1}{9}}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=\frac{1}{6}\ln{x}+\frac{1}{12}\ln{(x-1)}-\frac{1}{9}\ln{(x-2)}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine u odnosu na $x$

(\ln{y})'=(\frac{1}{6}\ln{x}+\frac{1}{12}\ln{(x-1)}-\frac{1}{9}\ln{(x-2)})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y}*y'=\frac{1}{6}*\frac{1}{x}+\frac{1}{12}*\frac{1}{x-1}-\frac{1}{9}*\frac{1}{x-2}

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y$

y'=y*(\frac{1}{6x}+\frac{1}{12(x-1)}-\frac{1}{9(x-2)})

Zamenjuje se $y$ iz originalne jednačine $y=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x}*\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[3]{x-2}}}$

y'=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x}*\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[3]{x-2}}}*(\frac{1}{6x}+\frac{1}{12(x-1)}-\frac{1}{9(x-2)})

Izvodi eksponencijalnih funkcija 12