Logaritamski izvod: kubni koren sa x kvadrat i korenom

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod:

y=\sqrt[3]{\frac{x^2\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{x^5+x-7}}}

REŠENJE ZADATKA

Sređuje se razlomak:

y=\frac{x^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{1}{2}*\frac{1}{3}}}{(x^5+x-7)^{\frac{1}{4}*\frac{1}{3}}}

y=\frac{x^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{1}{6}}}{(x^5+x-7)^{\frac{1}{12}}}

Da bi traženje prvog izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane jednačine:

\ln{y}=\ln{\frac{x^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{1}{6}}}{(x^5+x-7)^{\frac{1}{12}}}}

Primenjuje se formula za logaritam proizvoda: $\ln{ab}=\ln{a}+\ln{b}$ i logaritam količnika: $\ln{\frac{a}{b}}=\ln{a}-\ln{b}$

\ln{y}=\ln{x^{\frac{2}{3}}}+\ln{(x+2)^{\frac{1}{6}}}-\ln{(x^5+x-7)^{\frac{1}{12}}}

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=\frac{2}{3}\ln{x}+\frac{1}{6}\ln{(x+2)}-\frac{1}{12}\ln{(x^5+x-7)}

Potrebno je izračunati prvi izvod obe strane u odnosu na $x$

(\ln{y})'=(\frac{2}{3}\ln{x}+\frac{1}{6}\ln{(x+2)}-\frac{1}{12}\ln{(x^5+x-7)})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y}*y'=\frac{2}{3x}+\frac{1}{6(x+2)}-\frac{1}{12(x^5+x-7)}*(5x^4+1)

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y$

y'=y*(\frac{2}{3x}+\frac{1}{6(x+2)}-\frac{1}{12(x^5+x-7)}*(5x^4+1))

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=\sqrt[3]{\frac{x^2\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{x^5+x-7}}}$

y'=\sqrt[3]{\frac{x^2\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{x^5+x-7}}}*(\frac{2}{3x}+\frac{1}{6(x+2)}-\frac{1}{12(x^5+x-7)}*(5x^4+1))

Izvodi eksponencijalnih funkcija 15