Logaritamski izvod: peti koren sa e na tg x

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=\sqrt[5]{\frac{(x^3+1)(x^2+4)^3}{(x^2+x+1)^6*e^{\tg{x}}}}

REŠENJE ZADATKA

Sređuje se razlomak:

y=\frac{(x^3+1)^{\frac{7}{5}}(x^2+4)^{\frac{3}{5}}}{(x^2+x+1)^{\frac{6}{5}}e^{\frac{\tg{x}}{5}}}

Da bi traženje prvog izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y}=\ln{\frac{(x^3+1)^{\frac{7}{5}}(x^2+4)^{\frac{3}{5}}}{(x^2+x+1)^{\frac{6}{5}}e^{\frac{\tg{x}}{5}}}}

Primenjuje se formula za logaritam proizvoda: $\ln{ab}=\ln{a}+\ln{b}$ i logaritam količnika: $\ln{\frac{a}{b}}=\ln{a}-\ln{b}$

\ln{y}=\ln{(x^3+1)^{\frac{7}{5}}+\ln{(x^2+4)^\frac{3}{5}}}-(\ln{(x^2+x+1)^{\frac{6}{5}}}+\ln{e^{\frac{\tg{x}}{5}}})

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=\frac{7}{5}\ln{(x^3+1)}+\frac{3}{5}\ln{(x^2+4)}-\frac{6}{5}\ln{(x^2+x+1)}-\frac{\tg{x}}{5}

Računa se prvi izvod obe strane jednačine, u odnosu na $x$

(\ln{y})'=(\frac{7}{5}\ln{(x^3+1)}+\frac{3}{5}\ln{(x^2+4)}-\frac{6}{5}\ln{(x^2+x+1)}-\frac{\tg{x}}{5})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y}*y'=\frac{7}{5}*\frac{1}{x^3+1}*3x^2+\frac{3}{5}*\frac{1}{x^2+4}*2x-\frac{6}{5}*\frac{1}{x^2+x+1}*(2x+1)-\frac{1}{5}*\frac{1}{\cos^2{x}}

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y$

y'=y*(\frac{21x^2}{5(x^3+1)}+\frac{6x}{5(x^2+4)}-\frac{12x+6}{5(x^2+x+1)}-\frac{1}{5\cos^2{x}})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=\sqrt[5]{\frac{(x^3+1)(x^2+4)^3}{(x^2+x+1)^6*e^{\tg{x}}}}$

y'=\sqrt[5]{\frac{(x^3+1)(x^2+4)^3}{(x^2+x+1)^6*e^{\tg{x}}}}*(\frac{21x^2}{5(x^3+1)}+\frac{6x}{5(x^2+4)}-\frac{12x+6}{5(x^2+x+1)}-\frac{1}{5\cos^2{x}})

Izvodi eksponencijalnih funkcija 14