Logaritamski izvod: koren iz proizvoda korena

TEKST ZADATKA

Odrediti prvi izvod funkcije:

y=\sqrt{\frac{x*\sqrt[3]{x-1}*\sqrt[4]{x+2}}{\sqrt[5]{x-3}*\sqrt[7]{x+1}}}

REŠENJE ZADATKA

Sređuje se izraz:

y=(\frac{x*(x-1)^{\frac{1}{3}}*(x+2)^{\frac{1}{4}}}{(x-3)^{\frac{1}{5}}*(x+1)^{\frac{1}{7}}})^{\frac{1}{2}}

y=\frac{x^{\frac{1}{2}}*(x-1)^{\frac{1}{6}}*(x+2)^{\frac{1}{8}}}{(x-3)^{\frac{1}{10}}*(x+1)^{\frac{1}{14}}}

Da bi traženje prvog izvoda bilo jednostavnije, uzima se prirodni logaritam obe strane:

\ln{y}=\ln{\frac{x^{\frac{1}{2}}*(x-1)^{\frac{1}{6}}*(x+2)^{\frac{1}{8}}}{(x-3)^{\frac{1}{10}}*(x+1)^{\frac{1}{14}}}}

Primenjuje se formula za logaritam proizvoda: $\ln{ab}=\ln{a}+\ln{b}$ i logaritam količnika: $\ln{\frac{a}{b}}=\ln{a}-\ln{b}$

\ln{y}=\ln{x^{\frac{1}{2}}}+\ln{(x-1)^{\frac{1}{6}}}+\ln{(x+2)^{\frac{1}{8}}}-(\ln{(x-3)^{\frac{1}{10}}}+\ln{(x+1)^{\frac{1}{14}}})

Primenjuje se se svojstvo logaritma: $\ln{a^b}=b\ln{a}$

\ln{y}=\frac{1}{2}\ln{x}+\frac{1}{6}\ln{(x-1)}+\frac{1}{8}\ln{(x+2)}-\frac{1}{10}\ln{(x-3)}-\frac{1}{14}\ln{(x+1)}

Sada je potrebno izračunati prvi izvod obe strane jednačine:

(\ln{y})'=(\frac{1}{2}\ln{x}+\frac{1}{6}\ln{(x-1)}+\frac{1}{8}\ln{(x+2)}-\frac{1}{10}\ln{(x-3)}-\frac{1}{14}\ln{(x+1)})'

Računanjem se dobija:

\frac{1}{y}*y'=\frac{1}{2x}+\frac{1}{6(x-1)}+\frac{1}{8(x+2)}-\frac{1}{10(x-3)}-\frac{1}{14(x+1)}

Kako bi se izolovalo traženo $y'$ obe strane jednačine množe se sa $y$

y'=y*(\frac{1}{2x}+\frac{1}{6(x-1)}+\frac{1}{8(x+2)}-\frac{1}{10(x-3)}-\frac{1}{14(x+1)})

Zamenjuje se $y$ iz originalne funkcije $y=\sqrt{\frac{x*\sqrt[3]{x-1}*\sqrt[4]{x+2}}{\sqrt[5]{x-3}*\sqrt[7]{x+1}}}$

y'=\sqrt{\frac{x*\sqrt[3]{x-1}*\sqrt[4]{x+2}}{\sqrt[5]{x-3}*\sqrt[7]{x+1}}}*(\frac{1}{2x}+\frac{1}{6(x-1)}+\frac{1}{8(x+2)}-\frac{1}{10(x-3)}-\frac{1}{14(x+1)})

Izvodi eksponencijalnih funkcija 13