213.

Izvod višeg reda 6

TEKST ZADATKA

Izračunati drugi izvod funkcije:

y=ex⋅cos⁡xy=e^x \cdot \cos{x}
REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije.

y=(ex⋅cos⁡x)′y=(e^x \cdot \cos{x})'

Primeniti formulu za izvod proizvoda: (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x) (f (x) \cdot g(x))'= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

y′=(ex)′⋅cos⁡x+ex⋅(cos⁡x)′y'=(e^x)'\cdot \cos{x}+e^x\cdot (\cos{x})'
y′=ex⋅cos⁡x+ex(−sin⁡x)y'=e^x\cdot \cos{x}+e^x(-\sin{x})

Izvući zajednički činilac exe^x ispred zagrade.

y′=ex(cos⁡x−sin⁡x)y'=e^x(\cos{x}-\sin{x})

Izračunati izvod prvog izvoda.

y′′=(ex(cos⁡x−sin⁡x))′y''=(e^x(\cos{x}-\sin{x}))'

Primeniti formulu za izvod proizvoda: (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x) (f (x) \cdot g(x))'= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

y′′=(ex)′(cos⁡x−sin⁡x)+ex(cos⁡x−sin⁡x)′y''=(e^x)'(\cos{x}-\sin{x})+e^x(\cos{x}-\sin{x})'
y′′=ex(cos⁡x−sin⁡x)+ex(−sin⁡x−cos⁡x)y''=e^x(\cos{x}-\sin{x})+e^x(-\sin{x}-\cos{x})

Izvući zajednički činilac exe^x ispred zagrade.

y′′=ex(cos⁡x−sin⁡x−sin⁡x−cos⁡x)y''=e^x(\cancel{\cos{x}}-\sin{x}-\sin{x}-\cancel{\cos{x}})

Srediti izraz.

y′′=−2sin⁡x⋅exy''=-2\sin{x}\cdot e^x