Izvod drugog reda funkcije arcsin (x/2)

TEKST ZADATKA

Izračunati drugi izvod:

y=\arcsin{\frac{x}{2}}

REŠENJE ZADATKA

Prvo je potrebno izračunati prvi izvod funkcije:

y'=(\arcsin{\frac{x}{2}})'

Primeniti formulu izvoda složene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

y'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}\cdot (\frac{x}{2})'

Srediti izraz:

y'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\cdot \frac{1}{2}

y'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}}

y'=\frac{1}{\cancel{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{\cancel{2}}}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}

Navedeni izraz može se drugačije zapisati:

y''=((4-x^2)^{-\frac{1}{2}})'

Primenjuje se pravilo za izvod složene funkcije:

y''=-\frac{1}{2} \cdot (4-x^2)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot(4-x^2)'

Sređuje se izraz:

y''=-\frac{1}{\cancel{2}}(4-x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\cancel{2}x)

y''=\frac{x}{\sqrt{(4-x^2)^3}}

Izvod višeg reda 7