Nejednačina sa korenima 3x − 5, x − 2 i 4x − 3

Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Potrebno je da svi izrazi pod korenom budu nenegativni.

\begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 4x-3 \ge 0 \end{cases}

Rešavamo sistem nejednačina.

\begin{cases} x \ge \frac{5}{3} \\ x \ge 2 \\ x \ge \frac{3}{4} \end{cases}

Presek ovih uslova daje domen nejednačine.

x \in [2, +\infty)

Pošto su za $x \ge 2$ obe strane nejednačine nenegativne, možemo kvadrirati celu nejednačinu.

(\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2})^2 > (\sqrt{4x-3})^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na levoj strani.

(3x-5) + 2\sqrt{(3x-5)(x-2)} + (x-2) > 4x-3

Sređujemo izraz sabiranjem sličnih članova.

4x - 7 + 2\sqrt{(3x-5)(x-2)} > 4x - 3

Oduzimamo $4x$ sa obe strane i prebacujemo $-7$ na desnu stranu.

2\sqrt{(3x-5)(x-2)} > 4

Delimo celu nejednačinu sa 2.

\sqrt{(3x-5)(x-2)} > 2

Pošto su obe strane pozitivne, ponovo kvadriramo nejednačinu.

(3x-5)(x-2) > 4

Množimo binome na levoj strani.

3x^2 - 6x - 5x + 10 > 4

Sređujemo kvadratnu nejednačinu.

3x^2 - 11x + 6 > 0

Faktorišemo kvadratni trinom kako bismo odredili znak.

(3x-2)(x-3) > 0

x \in (-\infty, \frac{2}{3})

x \in (\frac{2}{3}, 3)

x \in (3, +\infty)

3x-2

+

+

+

x-3

+

+

+

(3x-2)(x-3)

+

+

+

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine je unija intervala gde je proizvod pozitivan.

x \in \left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \cup (3, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo u preseku ovog rešenja i domena nejednačine $x \in [2, +\infty) .$

x \in (3, +\infty)

374.đ