1892.

Iracionalne jednačine i nejednačine

Prvo određujemo domen nejednačine. Izraz pod korenom mora biti nenegativan:

Rešavamo kvadratnu jednačinu $-x^2+x+6 = 0$ da bismo našli nule:

Nule su $x_1 = -2$ i $x_2 = 3 .$ Pošto je koeficijent uz $x^2$ negativan, parabola je okrenuta nadole, pa je izraz nenegativan između nula. Domen nejednačine je:

Nejednačina oblika $a\sqrt{f(x)} > g(x)$ (gde je $a > 0$) se rešava kroz dva slučaja. Prvi slučaj je kada je desna strana negativna, a izraz pod korenom definisan:

Rešavamo prvu nejednačinu iz sistema:

Presek uslova $x < \frac{1}{2}$ i domena $x \in [-2, 3]$ daje rešenje prvog slučaja:

Drugi slučaj je kada je desna strana nenegativna. Tada su obe strane nejednačine nenegativne, pa možemo da ih kvadriramo:

Uslov $4x-2 \ge 0$ daje $x \ge \frac{1}{2} .$ Kvadriramo drugu nejednačinu:

Množimo zagradu sa $9 :$

Prebacujemo sve članove na levu stranu:

Delimo celu nejednačinu sa $-25 .$ Prilikom deljenja negativnim brojem, znak nejednakosti se menja:

Rešavamo kvadratnu jednačinu $x^2 - x - 2 = 0$ da bismo našli nule:

Nule su $x_1 = -1$ i $x_2 = 2 .$ Pošto je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta nagore, pa je izraz negativan između nula:

Presek uslova $x \ge \frac{1}{2} ,$ rešenja nejednačine $x \in (-1, 2)$ i domena $x \in [-2, 3]$ daje rešenje drugog slučaja:

Konačno rešenje je unija rešenja prvog i drugog slučaja:

Spajanjem ova dva intervala dobijamo konačan skup rešenja: