Nejednačina oblika f(x)<g(x) je ekvivalentna sistemu nejednačina:
⎩⎨⎧f(x)≥0g(x)>0f(x)<(g(x))2
Primenjujemo ovo pravilo na zadatu nejednačinu:
⎩⎨⎧(x−3)(2−x)≥03+2x>0(x−3)(2−x)<(3+2x)2
Rešavamo prvu nejednačinu iz sistema, koja predstavlja uslov definisanosti kvadratnog korena:
(x−3)(2−x)≥0
Određujemo znak izraza (x−3)(2−x) pomoću tabele. Nule činilaca su x=3 i x=2.
x∈(−∞,2)
x∈(2,3)
x∈(3,+∞)
x−3
+
+
+
2−x
+
+
+
(x−3)(2−x)
+
+
+
Na osnovu tabele, izraz je nenegativan za:
x∈[2,3]
Rešavamo drugu nejednačinu, koja predstavlja uslov da je desna strana strogo pozitivna:
3+2x>0⟹2x>−3⟹x>−23
Rešavamo treću nejednačinu, koja se dobija kvadriranjem obe strane:
(x−3)(2−x)<(3+2x)2
Množimo zagrade na levoj strani i primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani:
2x−x2−6+3x<9+12x+4x2
Sređujemo izraz prebacivanjem svih članova na desnu stranu:
0<4x2+x2+12x−5x+9+6
Dobijamo kvadratnu nejednačinu:
5x2+7x+15>0
Računamo diskriminantu ove kvadratne funkcije:
D=72−4⋅5⋅15=49−300=−251
Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan (a=5>0) i diskriminanta negativna (D<0), kvadratna funkcija je uvek pozitivna. Dakle, rešenje treće nejednačine je svaki realan broj:
x∈R
Konačno rešenje dobijamo traženjem preseka rešenja sve tri nejednačine:
x∈[2,3]∩(−23,+∞)∩R
Presek ovih skupova daje konačno rešenje nejednačine: