Koren iz −7 + 24i: koren kompleksnog broja

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{-7+24i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{-7+24i}=x+iy \\ -7+24i=(x+iy)^2 \\ -7+24i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

-7+24i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=-7 \\ 2xy=24

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=24\implies y=\frac{12}x

Uvrstiti $y=\frac{12}{x}$ u prvu jednačinu.

x^2-\bigg(\frac{12}{x}\bigg)^2=-7 \\ x^2-\frac{144}{x^2}=-7 \\ x^4+7x^2-144=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

t^2+7t-144=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=7$ i $c=-144$

t_{1,2} = \frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot (-144)}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{-7\pm\sqrt{49+576}}{2}\\ t_{1,2} = \frac{-7\pm25}{2} \\ t_1=-16 \quad\lor\quad t_2=9

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_1=-16$ se odbacuje.

Za $t_2=9$ rešenja za $x$ su:

x_1=3 \quad\lor\quad x_2=-3

Rešenja za $y$ su:

y_1=\frac{12}3=4 \\ y_2=\frac{12}{-3}=-4

Za $x_1=3$ i $y_1=4$ rešenje je:

\sqrt{-7+24i}=3+4i

Za $x_2=-3$ i $y_2=-4$ rešenje je:

\sqrt{-7+24i}=-3-4i

Dva moguća rešenja su:

3+4i, \quad -3-4i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{-7+24i}$

Beleške

−7+24i \sqrt{-7+24i} −7+24i​

$\sqrt{-7+24i}$