Koren iz 45/4 − 7i: šesti stepen razlomka sa i

Dva moguća rešenja su:

\frac72-i,\quad -\frac72+i

Srediti izraz:

56\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\bigg)^6

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $3+i,$ što je $3-i.$

56\bigg(\frac{1+2i}{3+i}\cdot\frac{3-i}{3-i}\bigg)^6 \\ 56\bigg(\frac{5+5i}{10}\bigg)^6 \\ 56\bigg(\frac{1+i}{2}\bigg)^6

Srediti izraz.

56\cdot\frac{(1+i)^6}{2^6}\\ 56\cdot\frac{(1+i)^6}{64}\\ \frac78(1+i)^6

Izraz $(1+i)^6$ rastaviti na sledeći način:

\frac78(1+i)^2(1+i)^4\\ \frac78(1+i)^2((1+i)^2)^2

Srediti izraz.

\frac78(1+2i+i^2)(1+2i+i^2)^2\\ \frac78(1+2i-1)(1+2i-1)^2 \\ \frac78\cdot2i\cdot(2i)^2\\ \frac78\cdot2i\cdot4i^2\\ \frac78\cdot8i^3

Zameniti $i^3$ sa $-i$

-7i

Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.

\sqrt{-7i+\frac{45}4}

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{\frac{45}4-7i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{\frac{45}4-7i}=x+iy \\ \frac{45}4-7i=(x+iy)^2\\ \frac{45}4-7i=x^2+2xiy+i^2y^2

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{45}4-7i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=\frac{45}4 \\ 2xy=-7

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=-7 \implies y=-\frac7{2x}

Uvrstiti $y=-\frac7{2x}$ u prvu jednačinu.

x^2-\bigg(-\frac7{2x}\bigg)^2=\frac{45}4\\ x^2-\frac{49}{4x^2}=\frac{45}4 \\ 4x^4-45x^2-49=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

4t^2-45t-49=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=4,$ $b=-45$ i $c=-49$

t_{1,2} = \frac{45\pm\sqrt{(-45)^2-4\cdot4\cdot (-49)}}{2\cdot 4}\\ t_{1,2} = \frac{45\pm\sqrt{2025+784}}{8}\\ t_{1,2} = \frac{45\pm53}{8} \\ t_1=-1 \quad\lor\quad t_2=\frac{49}4

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_1=-1$ se odbacuje.

Za $t_2=9$ rešenja za $x$ su:

x_1=\frac72\quad\lor\quad x_2=-\frac72

Rešenja za $y$ su:

y_1=-\frac7{2\cdot\frac72}=-\frac77=-1 \\ y_2=-\frac7{-2\cdot\frac72}=\frac77=1

Za $x_1=\frac72$ i $y_1=-1$ rešenje je:

\frac72-i

Za $x_2=-\frac72$ i $y_2=1$ rešenje je:

-\frac72+i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{56\big(\frac{1+2i}{3+i}\big)^6+\frac{45}4}$

Beleške

56(1+2i3+i)6+454\sqrt{56\big(\frac{1+2i}{3+i}\big)^6+\frac{45}4} 56(3+i1+2i​)6+445​​

$\sqrt{56\big(\frac{1+2i}{3+i}\big)^6+\frac{45}4}$