Koren kompleksnog izraza sa sedmim stepenom

Srediti izraz:

\frac72\bigg(\frac{5-i}{2-3i}\bigg)^7

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $2-3i,$ što je $2+3i.$

\frac72\bigg(\frac{5-i}{2-3i}\cdot\frac{2+3i}{2+3i}\bigg)^7 \\ \frac72\bigg(\frac{13+13i}{13}\bigg)^7 \\ \frac72(1+i)^7

Izraz $(1+i)^7$ rastaviti na sledeći način:

\frac72(1+i)(1+i)^6 \\ \frac72(1+i)\big((1+i)^2\big)^3

Srediti izraz.

\frac72(1+i)(1+2i+i^2)^3 \\ \frac72(1+i)(1+2i-1)^3\\ \frac72(1+i)(2i)^3 \\ \frac72(1+i)8i^3 \\ 28i^3(1+i)

Zameniti $i^3$ sa $-i$

-28i(1+i) \\ -28i-28i^2\\ 28-28i

Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.

\sqrt{28-28i-23+40i} \\ \sqrt{5+12i}

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{5+12i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{5+12i}=x+iy \\ 5+12i=(x+iy)^2 \\ 5+12i=x^2+2xiy+i^2y^2 \\

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

5+12i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=5 \\ 2xy=12

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=12\implies y=\frac6x

Uvrstiti $y=\frac6x$ u prvu jednačinu.

x^2-\bigg(\frac6x\bigg)^2=5 \\ x^2-\frac{36}{x^2}=5 \\ x^4-5x^2-36=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

t^2-5t-36=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-5$ i $c=-36$

t_{1,2} = \frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot (-36)}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{5\pm\sqrt{25+144}}{2}\\ t_{1,2} = \frac{5\pm13}{2} \\ t_1=-4 \quad\lor\quad t_2=9

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_1=-4$ se odbacuje.

Za $t_2=9$ rešenja za $x$ su:

x_1=3 \quad\lor\quad x_2=-3

Rešenja za $y$ su:

y_1=\frac63=2 \\ y_2=\frac6{-3}=-2

Za $x_1=3$ i $y_1=2$ rešenje je:

3+2i

Za $x_2=-3$ i $y_2=-2$ rešenje je:

-3-2i

Dva moguća rešenja su:

3+2i, \quad -3-2i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{\frac72\big(\frac{5-i}{2-3i}\big)^7-23+40i}$

Beleške

72(5−i2−3i)7−23+40i\sqrt{\frac72\big(\frac{5-i}{2-3i}\big)^7-23+40i} 27​(2−3i5−i​)7−23+40i​

$\sqrt{\frac72\big(\frac{5-i}{2-3i}\big)^7-23+40i}$