Koren iz 3 − 4i: koren kompleksnog broja

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=3 \\ 2xy=-4

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{3-4i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{3-4i}=x+iy \\ 3-4i=(x+iy)^2 \\ 3-4i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

3-4i=x^2+2xyi-y^2

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=-4 \implies y=-\frac2x

Uvrstiti $y=-\frac2x$ u prvu jednačinu.

x^2-\bigg(-\frac2x\bigg)^2=3 \\ x^2-\frac4{x^2}=3 \\ x^4-3x^2-4=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

t^2-3t-4=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=1,$ $b=-3$ i $c=-4$

t_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}\\ t_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}\\ t_{1,2} = \frac{3\pm5}{2}

Jednačina ima dva rešenja:

t_1=4 \quad\lor\quad t_2=-1

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_2=-1$ se odbacuje.

Za $t_1=4$ rešenja za $x$ su:

x_1=2 \quad\lor\quad x_2=-2

Rešenja za $y$ su:

y_1=-\frac2{2}=-1 \\ y_2=-\frac2{-2}=1

Za $x_1=2$ i $y_1=-1$ rešenje je:

\sqrt{3-4i}=2-i

Za $x_2=-2$ i $y_2=1$ rešenje je:

\sqrt{3-4i}=-2+i

Dva moguća rešenja su:

2-i, \quad -2+i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{3-4i}$

Beleške

3−4i\sqrt{3-4i}3−4i​

$\sqrt{3-4i}$