Koren iz 3 + 4i u algebarskom obliku

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{3+4i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{3+4i}=x+iy \\ 3+4i=(x+iy)^2 \\ 3+4i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

3+4i=x^2-y^2+2xyi

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=3 \\ 2xy=4

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=4 \implies y=\frac{2}{x}

Uvrstiti $y=\frac{2}{x}$ u prvu jednačinu.

x^2-\Big(\frac{2}{x}\Big)^2=3 \\ x^2-\frac{4}{x^2}=3 \\ x^4-4=3x^2 \\ x^4-3x^2-4=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

t^2-3t-4=0 \\ t_{1, 2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}\\ t_1=4 \quad \lor \quad t_2=-1

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_2=-1$ se odbacuje.

Za $t_1=4$ rešenja za $x$ su:

x_1=2 \quad \lor \quad x_2=-2

Rešenja za $y$ su:

y_1=\frac{2}{2}=1 \\ y_2=\frac{2}{-2}=-1

Za $x_1=2$ i $y_1=1$ rešenje je:

\sqrt{3+4i}=2+i

Za $x_2=-2$ i $y_2=-1$ rešenje je:

\sqrt{3+4i}=-2-i

Dva moguća rešenja su:

2+i, \quad-2-i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{3+4i}$

Beleške

3+4i\sqrt{3+4i}3+4i​

$\sqrt{3+4i}$