Kompleksni brojevi

Kompleksni brojevi - uvod

Kompleksni brojevi predstavaljaju proširenje skupa realnih brojeva koje nam omogućava da rešimo probleme koji su izvan domašaja samo realnih brojeva. Jedan takav problem je rešavanje jednačina koje nemaju rešenja u skupu realnih brojeva, na primer:

x2=−1x^2=-1

Ova jednačina nema realno rešenje jer kvadrat bilo kog realnog broja nije negativan. Zato se uvodi nova jedinica imaginarna jedinica označena slovom ii i definiše se kao:

i2=−1i^2=-1

Svaki kompleksan broj može se zapisati u obliku:

z=a+ibz=a+ib

gde su:

  • aa - realni deo kompleksnog broja
  • bb - imaginarni deo kompleksnog broja, broj koji stoji uz ii
  • ii - imaginarna jedinica

Na primer, broj 3+2i3+2i je kompleksan broj sa realnim delom 33 i imaginarnim delom 22.

Stepenovanje imaginarne jedinice

Započnimo posmatranjem prvih nekoliko stepena imaginarne jedinice ii.

i1=ii^1=i

i2=−1i^2=-1

i3=i2⋅i=−1⋅i=−ii^3=i^2\cdot i=-1 \cdot i = -i

i4=i3⋅i=−i⋅i=−i2=−(−1)=1i^4=i^3\cdot i=-i \cdot i = -i^2=-(-1)=1

i5=i4⋅i=1⋅i=ii^5=i^4\cdot i=1 \cdot i = i

i6=i5⋅i=i⋅i=i2=−1i^6=i^5\cdot i=i \cdot i = i^2=-1

i7=i6⋅i=−1⋅i=−ii^7=i^6\cdot i=-1 \cdot i = -i

i8=i7⋅i=−i⋅i=−i2=−(−1)=1i^8=i^7 \cdot i=-i \cdot i = -i^2=-(-1)=1

Primećujemo da se vrednosti ponavljaju na svaka 4 stepena:

i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1, i5=ii^5=i, i6=−1i^6=-1, itd.

To znači da je dovoljno podeliti eksponent sa 4 i posmatrati ostatak pri deljenju. Uopšteno, možemo zapisati:

  • i4k=1i^{4k}=1
  • i4k+1=i4k⋅ii^{4k+1}=i^{4k} \cdot i
  • i4k+2=−1i^{4k+2}=-1
  • i4k+3=−ii^{4k+3}=-i

za k∈{0, 1, 3, ...}k\in\{0,\ 1, \ 3, \ ...\}

Kako odrediti da li je broj deljiv sa 44

Broj je deljiv sa 4 ako su njegove poslednje dve cifre zajedno deljive sa 4.

Na primer:

  • 132132 →\rarr poslednje dve cifre su 3232, a 32÷4=832\div4=8, dakle broj 132132 je deljiv sa 44.
  • 157157 →\rarr poslednje dve cifre su 5757, a 57÷4=1457\div4=14 ostatak 11, dakle broj 157157 nije deljiv sa 44.

Kako odrediti ostatak pri deljenju sa 44

Ako broje nije deljiv sa 44, ostatak može biti 11, 22 ili 33.

  • Ako je ostatak 11, broj ima oblik 4k+14k+1
  • Ako je ostatak 22, broj ima oblik 4k+24k+2
  • Ako je ostatak 33, broj ima oblik 4k+34k+3

Primeri:

57÷4=4457 \div 4 = 44, ostatak 1.   ⟹  57=4⋅44+1 \implies 57=4\cdot44 + 1, odnosno 57=4k+157=4k+1, gde je k=44k=44.