Algebarski oblik kompleksnog broja

Izraz $z=x+iy$ nazivamo algebarskim oblikom kompleksnog broja. Realan broj $x$ nazivamo realan deo kompleksnog broja, a realan broj $y$ nazivamo imaginarni deo. Oznake su:

$x=\text{Re }z$

$y=\text{Im }z$

Ako je $\text{Im }z = 0$ onda je $z$ realan broj. (Na primer: 1, -5, 0)

Ako je $\text{Re }z = 0$ onda je $z$ čisto imaginaran broj. (Na primer: i, -5i)

Osnovne operacije

Jednakost

Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im realni delovi jednaki i imaginarni delovi jednaki. Ako imamo $z_1=x_1+y_1i$ i $z_2=x_2+y_2i$, oni su jednaki samo ako su:

$x_1=x_2 \quad$ i $\quad y_1=y_2$.

Sabiranje/Oduzimanje $z_1\pm z_2$

Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva se izvodi tako što sabiramo (ili oduzimamo) realne delove zasebno i imaginarne delove zasebno.

Ako imamo $z_1=x_1+y_1i\$ i $\ z_2=x_2+y_2i$:

• Sabiranje: $(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$
• Oduzimanje: $(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$

Množenje $z_1 \cdot z_2$

Množenje kompleksnih brojeva vrši se kao množenje običnih binoma.

$z_1 \cdot z_2 = (x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i) \\ x_1x_2+ x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2$

Po definiciji $i^2=-1$ pa možemo srediti izraz:

$x_1x_2-y_1y_2 + (x_1y_2+x_2y_1)i$

Konjugovanje kompleksnog broja $\overline{z}$

Konjugovano kompleksan broj za $z=x+iy$ je:

$\overline{z}=x-iy$

Deljenje $\frac{z_1}{z_2}$

Prilikom deljenja kompleksnih brojeva koristi se jedan jednostavan trik: eliminisanje imaginarne jedinice iz imenioca. Ovo se vrši množenjem brojioca i imenioca konjugovanim imeniocem.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \ \cdot \ \frac{x_2-y_2i}{x_2-y_2i}$

U imeniocu će se nakon množenja uvek dobiti realan broj, jer je proizvod kompleksnog broja i njegovog konjugovanog broja jednak sumi kvadrata realnog i imaginarnog dela:

$\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \ \cdot \ \frac{x_2-y_2i}{x_2-y_2i} \\ \frac{x_1 x_2 - x_1 y_2i + x_2y_1i-y_1y_2i^2}{x_2^2-y_2^2i} \\ \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2} \\ \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2+y_2^2} + \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i$

Kvadratni koren kompleksnog broja $\sqrt{z}$

Možemo pretpostaviti da je koren kompleksnog broja takođe neki kompleksan broja $a+bi$. $\sqrt{z} = a+bi \\ \sqrt{x+yi}=a+bi$

Kvadriranjem obe strane dobijamo:

$x+yi=(a+bi)^2\\ x+yi=a^2+2abi+b^2i^2\\ x+yi=a^2-b^2+2abi$

Upoređivanjem realnih imaginarnih delova dobijamo sistem jednačina:

$x=a^2-b^2 \quad \text{i} \quad y=2ab$

Rešavanjem sistema jednačina dobijamo realni deo $a$ i imaginarni deo $b$ traženog korena.

Geometrijska interpretacija kompleksnog broja

Za razliku od realnih brojeva, koje možemo smestiti na jednodimenzionalnu brojevnu pravu (obično $x-osu$), kompleksni brojevi zahtevaju dvodimenzionalni prostor za svoju vizuelnu reprezentaciju. Taj prostor nazivamo kompleksna ravan. Ova ravan je dvodimenzionalni koordinatni sistem, sličan Dekartovom koordinatnom sistemu, ali sa specifičnim osama:

• Realna osa (x-osa): Horizontalna osa predstavlja realni deo kompleksnog broja.
• Imaginarna osa (y-osa): Vertikalna osa predstavlja imaginarni deo kompleksnog broja.

Svaki kompleksan broj $z=x+yi$ može se jedinstveno predstaviti kao tačka $(x,y)$ u kompleksnoj ravni. Alternativno, može se predstaviti i kao vektor koji počinje od koordinatnog početka $(0,0)$ i završava se u tački $Z(x,y)$.

Modul kompleksnog broja

Modul kompleksnog broja $z=x+iy$, koji se označava sa $|z|$, predstavlja rastojanje tačke $Z(x, y)$ od koordinatnog pocetka $O(0,0)$ u kompleksnoj ravni.

Ovo rastojanje možemo lako odrediti primenom Pitagorine teoreme. Posmatrajmo pravougli trougao čije su katete dužine $∣x∣$ (apsolutna vrednost realnog dela) i $∣y∣$ (apsolutna vrednost imaginarnog dela), a hipotenuza je upravo rastojanje koje tražimo, tj. $∣z∣$.

Na osnovu Pitagorine teoreme:

$|z|^2=x^2+y^2$

Odakle sledi da je modul kompleksnog broja:

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Modul $∣z∣$ je uvek nenegativan realan broj i predstavlja veličinu ili dužinu kompleksnog broja kada se posmatra kao vektor.

Konjugovana vrednost kompleksnog broja

Konjugovana vrednost kompleksnog broja $z=x+iy$ je jednaka:

$\overline{z}=x-iy$

Geometrijski, konjugovana vrednost predstavlja refleksiju tačke (ili vektora) preko realne $x$-ose. Realni deo ostaje isti, dok imaginarni deo menja znak, što je isto kao da se tačka preslika u odnosu na $x-osu$.