Koren iz i: kvadratni koren imaginarne jedinice

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{i}=x+iy \\ i=(x+iy)^2 \\ i=x^2+2xyi+i^2y^2

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=0 \\ 2xy=1

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=1 \implies y=\frac 1 {2x}

Uvrstiti $y=\frac{1}{2x}$ u prvu jednačinu.

x^2-\bigg(\frac{1}{2x}\bigg)^2=0 \\ x^2-\frac1{4x^2}=0 \\ 4x^4-1=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

4t^2-1=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(2t-1)(2t+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

2t-1=0 \quad\lor\quad 2t+1=0 \\ t_1=\frac12 \quad\lor\quad t_2=-\frac12

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_2=-\frac12$ se odbacuje.

Za $t_1=\frac12$ rešenja za $x$ su:

x_1=\frac{\sqrt2}2 \quad\lor\quad x_2=-\frac{\sqrt2}2

Rešenja za $y$ su:

y_1=\frac1{2\cdot\frac{\sqrt2}2}=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2 \\ y_2=\frac1{-2\cdot\frac{\sqrt2}2}=\frac1{-\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}2

Za $x_1=\frac{\sqrt2}2$ i $y_1=\frac{\sqrt2}2$ rešenje je:

\sqrt i =\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2i=\frac{(1+i)\sqrt2}2

Za $x_2=-\frac{\sqrt2}2$ i $y_2=-\frac{\sqrt2}2$ rešenje je:

\sqrt i =-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2i=-\frac{(1+i)\sqrt2}2

Dva moguća rešenja su:

\frac{(1+i)\sqrt2}2, \quad -\frac{(1+i)\sqrt2}2

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{i}$

Beleške

i\sqrt{i}i​

$\sqrt{i}$