745. Algebarski oblik | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\sqrt[4]{-7+24i}

REŠENJE ZADATKA

Četvrti koren se može zapisati:

\sqrt[4]{-7+24i}=\sqrt{\sqrt{-7+24i}}

Prvo odrediti kvadratni koren $\sqrt{-7+24i}$ u algebarskom obliku. Pretpostaviti da je $\sqrt{-7+24i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

\sqrt{-7+24i}=x+iy \\ -7+24i=x^2+2xyi+i^2y^2\\ -7+24i=x^2-y^2+2xyi

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=7 \\ 2xy=24

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=24 \implies \frac{12}{x}

Uvrstiti $y=\frac{12}{x}$ u prvu jednačinu.

x^2-\Big(\frac{12}{x}\Big)^2=7 \\ x^4-7x^2-144=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

t^2-7t-144=0 \\ t_{1, 2}= \frac{7\pm\sqrt{625}}{2}\\ t_{1, 2}= \frac{7\pm25}{2}\\ t_1 = 16\quad \lor \quad t_2=-9

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_2=-9$ se odbacuje.

Za $t_1=16$ rešenja za $x$ su:

x_1=4 \quad \lor \quad x_2=-4

Rešenja za $y$ su:

y_1=3 \quad \lor \quad y_2=-3

Rešenja za $\sqrt{-7+24i}$ su:

4+3i, \quad -4-3i

Pošto se traži četvrti koren $\sqrt[4]{-7+24i}$ potrebno je odrediti kvadratne korene dobijenih kvadratnih korena.

\sqrt{4+3i}, \quad \sqrt{-4-3i}

Primenom istog postupka dobijaju se konačna rešenja:

2+i, \quad -2-i, \quad 1-2i, \quad -1+2i

−7+24i4\sqrt[4]{-7+24i}4−7+24i​

$\sqrt[4]{-7+24i}$