Kompleksan broj z iz razlomka sa (1 + i)z + 2 − 2i

TEKST ZADATKA

Naći kompleksni broj $z$ koji zadovoljava uslov:

\text{Re}(\frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i}) = \text{Im}(\frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i})=1

REŠENJE ZADATKA

Pošto su realni i imaginarni deo kompleksnog broja $\frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i}$ dati i jednaki $1 ,$ može se odrediti taj kompleksni broj.

\frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i}=1+1\cdot i\\ \frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i} = 1+i

Izraziti $z.$

(1+i)z+2-2i = (1+i )(3+2i) \\ (1+i)z=3+2i+3i+2i^2-2+2i \\ (1+i)z=7i-1 \\ z=\frac{7i-1}{1+i}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $1+i,$ što je $1-i.$

\frac{7i-1}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i} \\ \frac{7i-7i^2-1+i}{1-i^2}

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{8i+7-1}{1+1} \\ \frac{6+8i}{2} \\ 3+4i

Konačno rešenje je:

z=3+4i

$\text{Re}(\frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i}) = \text{Im}(\frac{(1+i)z+2-2i}{3+2i})=1$