Realni brojevi x i y: razlomak sa imeniocem 1 + i

TEKST ZADATKA

Naći realne brojeve $x$ i $y.$

\frac{(x-4)+i(y-1)}{1+i}=2-5i

REŠENJE ZADATKA

Osloboditi se zagrada množenjem.

\frac{x-4+iy-i}{1+i}=2-5i

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $1+i,$ što je $1-i.$

\frac{x-4+iy-i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=2-5i \\ \frac{(x-4+iy-i)(1-i)}{1-i^2}=2-5i \\ \frac{x-ix-4+4i+iy-i^2y-i+i^2}{1-i^2}=2-5i

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{x-ix-4+4i+iy+y-i-1}{1+1}=2-5i \\ \frac{x-ix-5+3i+iy+y}{2}=2-5i

Izvući $i$ ispred zagrade.

\frac{x-5+y+i(-x+3+y)}{2}=2-5i \\ \frac{x-5+y}2+\frac{-x+3+y}2i=2-5i

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

\frac{x-5+y}2=2 \\ \frac{-x+3+y}2=-5

Iz prve jednačine izraziti $y.$

\frac{x-5+y}2=2 \implies y=9-x

Uvrstiti $y=9-x$ u drugu jednačinu.

\frac{-x+3+9-x}2=-5 \\ -2x+12=-10 \\ 2x=22 \\ x=11

Rešenje za $y$ je:

y=9-11=-2

Konačno rešenje:

x=11 \quad\land\quad y=-2

$\frac{(x-4)+i(y-1)}{1+i}=2-5i$