Realni x i y: zbir razlomaka sa 1 − i i 1 + i

TEKST ZADATKA

Naći realne brojeve $x$ i $y.$

\frac{x-2}{1-i}+\frac{y-3}{1+i}=1-3i

REŠENJE ZADATKA

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca prvog razlomka, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $1-i,$ što je $1+i.$

\frac{x-2}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1-i}+\frac{y-3}{1+i}=1-3i

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca drugog razlomka, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $1+i,$ što je $1-i.$

\frac{x-2}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}+\frac{y-3}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=1-3i \\ \frac{(x-2)(1+i)}{1-i^2}+\frac{(y-3)(1-i)}{1-i^2}=1-3i\\ \frac{(x-2)(1+i)+(y-3)(1-i)}{1-i^2}=1-3i \\ \frac {x+ix-2-2i+y-iy-3+3i}{1-i^2}=1-3i \\ \frac {x+ix-5+i+y-iy}{1-i^2}=1-3i

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac {x+ix-5+i+y-iy}{1+1}=1-3i \\ \frac {x+ix-5+i+y-iy}{2}=1-3i

Izvući $i$ ispred zagrade.

\frac {x-5+y+i(x+1-y)}{2}=1-3i \\ \frac {x-5+y}2+\frac{x+1-y}{2}i=1-3i

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

\frac {x-5+y}2=1\\ \frac{x+1-y}{2}=-3

Iz druge jednačine izraziti $y.$

\frac{x+1-y}{2}=-3 \implies y=7+x

Uvrstiti $y=7+x$ u prvu jednačinu.

\frac {x-5+7+x}2=1 \\ \frac{2x+2}2=1 \\ x+1=1 \\ x=0

Rešenje za $y$ je:

y=7+0=7

Konačno rešenje:

x=0 \quad\land\quad y=7

$\frac{x-2}{1-i}+\frac{y-3}{1+i}=1-3i$