Stepen kompleksnog broja: izložilac 1000

TEKST ZADATKA

Izračunati:

\bigg(\frac{1+i}{\sqrt2}\bigg)^{1000}+\bigg(\frac{1-i}{\sqrt2}\bigg)^{1000}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za stepen stepena: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

\bigg(\bigg(\frac{1+i}{\sqrt2}\bigg)^2\bigg)^{500}+\bigg(\bigg(\frac{1-i}{\sqrt2}\bigg)^2\bigg)^{500}

Srediti razlomke.

\bigg(\frac{(1+i)^2}{(\sqrt2)^2}\bigg)^{500}+\bigg(\frac{(1-i)^2}{(\sqrt2)^2}\bigg)^{500} \\ \bigg(\frac{1+2i+i^2}2\bigg)^{500}+\bigg(\frac{1-2i+i^2}2\bigg)^{500}

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\bigg(\frac{1+2i-1}2\bigg)^{500}+\bigg(\frac{1-2i-1}2\bigg)^{500}\\ \bigg(\frac{2i}2\bigg)^{500}+\bigg(\frac{-2i}2\bigg)^{500}\\ i^{500}+(-i)^{500}

Ako negativna baza ima pozitivan eksponent, baza postaje pozitivna.

i^{500}+i^{500}

Ako je $n$ deljivo sa $4,$ tada važi za $i^n=1.$

1+1\\ 2

$\big(\frac{1+i}{\sqrt2}\big)^{1000}+\big(\frac{1-i}{\sqrt2}\big)^{1000}$