Kubni koreni jedinice: dokaz da je kub jednak 1

TEKST ZADATKA

Dokazati:

\bigg(\frac{-1+i\sqrt3}2\bigg)^3=\bigg(\frac{-1-i\sqrt3}2\bigg)^3=1

REŠENJE ZADATKA

Dokaz podeliti na dva dela, prvo dokazati tvrdnju za prvi broj, a zatim za drugi.

1. \ \bigg(\frac{-1+i\sqrt3}2\bigg)^3=1 \\ 2. \ \bigg(\frac{-1-i\sqrt3}2\bigg)^3=1

Srediti prvi izraz primenom formule za kub zbira: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

\bigg(\frac{-1+i\sqrt3}2\bigg)^3 \\ \frac{(-1)^3+3\cdot(-1)^2\cdot i\sqrt3+3\cdot(-1)\cdot(i\sqrt3)^2+(i\sqrt3)^3}8 \\ \frac{-1+3\sqrt3i-9i^2+3\sqrt3i^3}8

Zameniti $i^2$ sa $-1$ i zameniti $i^3$ sa $-i.$

\frac{-1+3\sqrt3i-9i^2+3\sqrt3i^2\cdot i}8 \\ \frac{-1+3\sqrt3i+9-3\sqrt3i}8 \\ \frac{-1+\cancel{3\sqrt{3}i}+9-\cancel{3\sqrt3i}} {8} \\ \frac{8}{8}

Prva jednakost je dokazana.

\frac{8}{8} = 1

Srediti drugi izraz primenom formule za kub razlike: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

\frac{(-1)^3-3\cdot(-1)^2\cdot i\sqrt3+3\cdot(-1)\cdot(i\sqrt3)^2-(i\sqrt3)^3}8\\ \frac{-1-3\sqrt3i-9i^2-3\sqrt3i^3}8

Zameniti $i^2$ sa $-1$ i zameniti $i^3$ sa $-i.$

\frac{-1-3\sqrt3i-9i^2-3\sqrt3i^2\cdot i}8 \\ \frac{-1-3\sqrt3i+9+3\sqrt3i}8 \\ \frac{8}{8}

Druga jednakost je dokazana.

\frac{8}{8}=1

Kako su obe jednakosti tačne, dokaz je završen.

$(\frac{-1+i\sqrt3}2)^3=(\frac{-1-i\sqrt3}2)^3=1$