Realni i imaginarni deo razlomka sa kubovima

TEKST ZADATKA

Naći realni i imaginarni deo kompleksnog broja:

\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kvadrat zbira: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

\frac{1+4i+4i^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-4-4i-i^2}

Primeniti formule za kub zbira i razlike: $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$

\frac{1+4i+4i^2-(1-3i+3i^2-i^3)}{27+54i+36i^2+8i^3-4-4i-i^2} \\ \frac{1+4i+4i^2-1+3i-3i^2+i^3}{27+54i+36i^2+8i^3-4-4i-i^2}\\ \frac{7i+i^2+i^3}{23+50i+35i^2+8i^3}

Pošto je $i^2=-1$ i $i^3=-i$ dobija se:

\frac{7i-1-i}{23+50i-35-8i} \\ \frac{6i-1}{42i-12}

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $42i-12,$ što je $-42i-12.$

\frac{6i-1}{42i-12}\cdot\frac{-42i-12}{-42i-12}\\ \frac{-252i^2-30i+12}{1908}

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

\frac{252-30i+12}{1908} \\ \frac{264-30i}{1908}

Razdvojiti razlomak:

\frac{22}{159}-\frac5{318}i

Realni deo kompleksnog broja $\frac{22}{159}-\frac5{318}i$ je $\frac{22}{159},$ a imaginarni $-\frac5{318}.$

$\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}$