Koren iz 2 + 3i posle sređivanja sedmog stepena

Srediti izraz:

\frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{5-14i}{4-i}+i \Big)^7

Da bi se uklonio imaginarni broj iz imenioca, pomnožiti brojilac i imenilac konjugovanim brojem od $4-i,$ što je $4+i.$

\frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{5-14i}{4-i} \cdot \frac{4+i}{4+i}+i \Big)^7 \\ \frac{1}{2^{10}} \Big(\frac{34-51i}{17} +i \Big)^7

Srediti izraz.

\frac{1}{2^{10}} \Big(2-3i +i \Big)^7 \\ \frac{1}{2^{10}} \Big(2-2i\Big)^7 \\ \frac{1}{2^{10}} \Big(2(1-i)\Big)^7 \\ \frac{1}{2^{10}}\cdot 2^7\Big(1-i \Big)^7 \\ \frac{1}{2^3} \Big(1-i \Big)^7

Izraz $(1-i)^7$ rastaviti na sledeći način:

\frac{1}{2^3} \cdot(1-i) (1-i )^6 \\ \frac{1}{2^3} \cdot (1-i) \Big((1-i )^2\Big)^3

Srediti izraz.

\frac{1}{2^3} \cdot (1-i) (1-2i+i^2)^3\\ \frac{1}{2^3} \cdot (1-i) (1-2i-1)^3\\ \frac{1}{2^3} \cdot (1-i) (-2i)^3

Skratiti $2^3$ i zameniti $i^3$ sa $-i$

\frac{1}{\cancel{2^3}}\cdot\cancel{(-2)^3}(1-i)(-i)\\ -(1-i)(-i)\\ i(1-i) \\ i-i^2\\ 1+i

Zameniti dobijenu vrednost u početni koren.

\sqrt{1+i+1+2i} \\ \sqrt{2+3i}

Kvadratni koren kompleksnog broja može se izračunati u algebarskom obliku tako što se pretpostavi da je $\sqrt{2+3i}=x+iy,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi koje treba odrediti.

Kvadrirati obe strane.

\sqrt{2+3i}=x+iy\\ 2+3i=(x+iy)^2\\2+3i=x^2+2xiy+i^2y^2

Pošto je $i^2=-1$ dobija se:

2+3i=x^2+2xyi-y^2

Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobija se sistem jednačina:

x^2-y^2=2 \\ 2xy=3

Iz druge jednačine izraziti $y.$

2xy=3 \implies y=\frac3{2x}

Uvrstiti $y=\frac{3}{2x}$ u prvu jednačinu.

x^2-\bigg(\frac3{2x}\bigg)^2=2\\ x^2-\frac9{4x^2}=2\\ 4x^4-8x^2-9=0

Uvesti smenu $t=x^2.$

4t^2-8t-9=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=4,$ $b=-8$ i $c=-9$

t_{1,2} = \frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot4\cdot (-9)}}{2\cdot 4}\\ t_{1,2} = \frac{8\pm\sqrt{64+144}}{8}\\ t_{1,2} = \frac{8\pm4\sqrt{13}}{8} \\ t_1=\frac{2+\sqrt{13}}2 \quad\lor\quad t_2=\frac{2-\sqrt{13}}2

Kako je $t=x^2$ ne može biti negativno, rešenje $t_2=\frac{2-\sqrt{13}}2$ se odbacuje.

Za $t_1=\frac{2+\sqrt{13}}2$ rešenja za $x$ su:

x_1=\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}\quad\lor\quad x_2=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}

Rešenja za $y$ su:

y_1=\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}} \\ y_2=\frac3{-2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}

Za $x_1=\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}$ i $y_1=\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}$ rešenje je:

\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}+\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i

Za $x_2=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}$ i $y_2=-4$ rešenje je:

-\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}-\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i

Dva moguća rešenja su:

\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}+\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i,\quad -\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}-\frac3{2\sqrt{\frac{2+\sqrt{13}}2}}i

Započni učenje

Online časovi

$\sqrt{\frac{1}{2^{10}}(\frac{5-14i}{4-i}+i)^7+1+2i}$

Beleške

1210(5−14i4−i+i)7+1+2i\sqrt{\frac{1}{2^{10}}(\frac{5-14i}{4-i}+i)^7+1+2i}2101​(4−i5−14i​+i)7+1+2i​

$\sqrt{\frac{1}{2^{10}}(\frac{5-14i}{4-i}+i)^7+1+2i}$