Vietove formule - uvod

Vietove formule, ili Vietova pravila, predstavljaju vezu između korena (rešenja) polinoma i njegovih koeficijenata.

One nam omogućavaju da odredimo zbir i proizvod rešenja bez direktnog rešavanja jednačine.

Najčešće se koriste kod kvadratnih jednačina, ali važe za polinome bilo kog stepena.

Kvadratna jednačina

Standardni oblik kvadratne jednačine je:

$ax^2+bx+c=0$

Ako su $x_1$ i $x_2$ rešenja ove jednačine, tada važe sledeće jednakosti:

Zbir rešenja:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Proizvod rešenja:

$x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$

Svedena kvadratna jednačina

Ako je $a=1$, jednačina ima oblik:

$x^2+bx+c=0$

Tada su formule jednostavnije:

$x_1+x_2=-b$ $x_1 \cdot x_2=c$

Primer

Posmatrajmo jednačinu:

$x^2-5x+6=0$

Ovde je:

$a=1$ $b=-5$ $c=6$

Primenom Vietovih formula se dobija:

$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$

$x_1 \cdot x_2=\frac{6}{1}=6$

Tražimo dva broja čiji je zbir $5$, a proizvod $6$. To su brojevi $2$ i $3$.

Kubna jednačina

Standardni oblik kubne jednačine je:

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

Ako su rešenja $x_1$, $x_2$ i $x_3$, tada važi:

Zbir svih rešenja:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

Zbir proizvoda po dva rešenja:

$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$

Proizvod svih rešenja:

$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=-\frac{d}{a}$

Dokaz Vietovih formula za kvadratnu jednačinu

Pretpostavimo da su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine.

To znači da se polinom može zapisati kao proizvod dve zagrade:

$(x-x_1)(x-x_2)=0$

Množenje zagrada

Primenićemo pravilo množenja, svaki član iz prve zagrade množimo sa svakim članom iz druge.

• $x \cdot x = x^2$
• $x \cdot (-x_2) = -x_2x$
• $(-x_1) \cdot x = -x_1x$
• $(-x_1) \cdot (-x_2) = x_1x_2$

Sada sve sabiramo:

$x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2 = 0$

Sređivanje izraza

Srednje članove možemo spojiti:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Dobijamo polinom oblika:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Poređenje sa opštim oblikom

Opšti oblik svedene kvadratne jednačine je:

$x^2 + px + q = 0$

Upoređivanjem koeficijenata dobijamo:

$p = -(x_1 + x_2)$ $q = x_1x_2$

Odnosno:

$x_1 + x_2 = -p$ $x_1x_2 = q$

Ako je jednačina u opštem obliku:

$ax^2 + bx + c = 0$

onda deljenjem cele jednačine sa $a$ dobijamo:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Pa važi:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Čemu služe Vietove formule

Provera rešenja

Kada rešimo kvadratnu jednačinu pomoću formule za diskriminantu, možemo proveriti tačnost rešenja tako što izračunamo njihov zbir i proizvod. Ako se ne poklapaju sa vrednostima $-\frac{b}{a}$ i $\frac{c}{a}$, došlo je do greške.

Sastavljanje jednačine

Ako su poznata rešenja, lako možemo napisati jednačinu.

Na primer, ako su rešenja $4$ i $-2$:

Zbir je $2$ Proizvod je $-8$

Jednačina je:

$x^2-2x-8=0$

Zadaci sa parametrima

U zadacima gde se traži vrednost parametra tako da rešenja zadovoljavaju određeni uslov, Vietove formule znatno pojednostavljuju postupak.

Na primer, ako je uslov:

$x_1+x_2=2x_1x_2$

Zamenimo izraze iz Vietovih formula:

$-\frac{b}{a}=2\cdot\frac{c}{a}$

Dalje samo rešavamo jednačinu.

---

Vietove formule su moćan alat jer nam omogućavaju da radimo sa korenima jednačine bez njihovog eksplicitnog nalaženja.