Aksiome pripadanja i paralelnost

Geometrija je grana matematike koja proučava geometrijske oblike, njihove osobine i međusobne odnose. Osnovni pojmovi geometrije prostora su tačka, prava i ravan. Ove pojmove ne definišemo pomoću jednostavnijih pojmova, već ih prihvatamo kao polazne i proučavamo njihove osobine.

Da bismo mogli da zaključujemo o geometrijskim objektima i dokazujemo njihove osobine, potrebna su nam određena osnovna pravila. Ta pravila nazivamo aksiomama.

Aksiome su osnovna matematička tvrđenja koja prihvatamo bez dokazivanja. One predstavljaju polaznu osnovu iz koje logičkim zaključivanjem izvodimo i dokazujemo druga tvrđenja, koja nazivamo teoremama.

U ovoj lekciji upoznaćemo aksiome koje određuju međusobne odnose tačaka, pravih i ravni, posebno njihove odnose pripadanja i paralelnosti.

1. Tačke, prave i ravni

U geometriji se koriste sledeće oznake:

Objekat	Oznake
tačke	velika latinična slova: $A,B,C,\dots$
prave	mala latinična slova: $a,b,c,\dots$
ravni	grčka slova: $\alpha,\beta,\gamma,\dots$

Ako tačka $A$ pripada pravoj $a$ ili ravni $\alpha$ , pišemo:

A\in a \qquad \text{ili} \qquad A\in\alpha.

Ako je prava $a$ sadržana u ravni $\alpha$ , pišemo

a\subset\alpha.

Presek pravih i ravni je skup svih zajedničkih tačaka. Ako se prave $a$ i $b$ seku u tački $P$ , zapisujemo

a\cap b=\{P\}.

Tačka pripada pravoj ili ravni, pa pravilno pišemo $A\in a$ i $A\in\alpha$ . Zapis $A\subset\alpha$ nije pravilan jer tačka nije prava niti skup tačaka sadržan u ravni.

Prava je sadržana u ravni, pa pišemo $a\subset\alpha$ . Zapis $a\in\alpha$ nije pravilan jer prava nije element ravni.

Ako prava $a$ prodire ravan $\alpha$ u tački $M$ , pravilno je $a\cap\alpha=\{M\}.$

Zapis $a\cap\alpha=M$ nije pravilan. Presek je skup zajedničkih tačaka, pa se jednočlani skup zapisuje kao $\{M\}$ , a ne kao $M$ .

Kolinearne i komplanarne tačke

Tačke su kolinearne ako pripadaju istoj pravoj. Tačke koje ne pripadaju istoj pravoj su nekolinearne.

Tačke su komplanarne ako pripadaju istoj ravni. Tačke koje ne mogu biti smeštene u jednu ravan su nekomplanarne.

2. Aksiome pripadanja i određivanje ravni

Aksiome pripadanja opisuju osnovne veze između tačaka, pravih i ravni.

Aksioma 1. Svaka prava sadrži najmanje dve različite tačke. Postoje tri nekolinearne tačke.
Aksioma 2. Svake dve različite tačke određuju jednu pravu.
Aksioma 3. Svake tri nekolinearne tačke određuju jednu ravan.
Aksioma 4. Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke. Postoje četiri nekomplanarne tačke.
Aksioma 5. Svaka prava koja sa nekom ravni ima dve različite zajedničke tačke pripada toj ravni.
Aksioma 6. Ako dve različite ravni imaju jednu zajedničku tačku, onda one imaju tačno jednu zajedničku pravu.

Kako prava i tačka određuju ravan

Prava $a$ i tačka $A$ van nje određuju tačno jednu ravan.

Primer: Dokažimo ovo tvrđenje pomoću aksioma.

Po Aksiomi 1 na pravoj $a$ postoje dve različite tačke $B$ i $C$ . Pošto $A\notin a$ , tačke $A$ , $B$ i $C$ su nekolinearne. Po Aksiomi 3 one određuju jednu ravan $\alpha$ .

Tačke $B$ i $C$ pripadaju i pravoj $a$ i ravni $\alpha$ . Zato po Aksiomi 5 cela prava $a$ pripada ravni $\alpha$ . Druga ravan koja bi sadržala $a$ i $A$ sadržala bi iste tri nekolinearne tačke, pa bi po Aksiomi 3 morala biti ravan $\alpha$ .

Kada je ravan jednoznačno određena?

Sledeća četiri slučaja su osnovna za rešavanje zadataka. Čim prepoznaš jedan od njih, znaš da dati objekti određuju tačno jednu ravan.

Ravan određuju	Zašto
tri nekolinearne tačke	Aksioma 3
prava i tačka van nje	na pravoj izaberemo dve tačke i primenimo Aksiome 3 i 5
dve prave koje se seku	uz presečnu tačku izaberemo po još jednu tačku sa svake prave
dve različite paralelne prave	paralelne prave su komplanarne, a tri njihove odgovarajuće tačke su nekolinearne

Mimoilazne prave ne određuju ravan jer ne postoji ravan koja ih obe sadrži.

Zadatak: Prebroj ravni koje određuju četiri paralelne prave $a$ , $b$ , $c$ i $d$ ako nikoje tri od njih ne pripadaju istoj ravni.

Rešenje: Svake dve paralelne prave određuju tačno jednu ravan. Uslov da nikoje tri prave nisu u istoj ravni garantuje da svaki par određuje drugu ravan.

Zato treba prebrojati koliko parova možemo izabrati među četiri prave:

\binom{4}{2}=6.

Date prave određuju ukupno šest ravni.

3. Paralelnost pravih i ravni

Dve prave su paralelne ako se poklapaju ili ako pripadaju istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka. Pišemo $a\parallel b$ .

Dve prave su mimoilazne ako ne postoji ravan koja ih obe sadrži. Mimoilazne prave se ne seku, ali nisu paralelne jer nisu komplanarne.

Aksioma paralelnosti

Za svaku pravu $a$ i svaku tačku $A$ postoji tačno jedna prava koja sadrži tačku $A$ i paralelna je pravoj $a$ .

Ako je $A\notin a$ , kroz tačku $A$ možemo povući samo jednu novu pravu paralelnu pravoj $a$ . Reč tačno daje i postojanje i jedinstvenost te prave.

Paralelnost pravih je relacija ekvivalencije:

$a\parallel a$ ;
iz $a\parallel b$ sledi $b\parallel a$ ;
iz $a\parallel b$ i $b\parallel c$ sledi $a\parallel c$ .

Zato jedna prava ne može biti paralelna sa dve mimoilazne prave. Kada bi $c\parallel a$ i $c\parallel b$ , tranzitivnost bi dala $a\parallel b$ , što se protivi tome da su $a$ i $b$ mimoilazne.

Prava i ravan

Prava u odnosu na ravan može imati jedan od tri položaja:

Položaj	Zapis ili opis
prava pripada ravni	$a\subset\alpha$
prava prodire ravan	$a\cap\alpha=\{P\}$
prava je paralelna ravni	$a\cap\alpha=\emptyset$

Prava $a$ koja ne pripada ravni $\alpha$ paralelna je toj ravni ako i samo ako u ravni $\alpha$ postoji prava paralelna pravoj $a$ .

Ako su ravni $\alpha$ i $\beta$ paralelne, one nemaju zajedničkih tačaka:

\alpha\parallel\beta \quad\Longrightarrow\quad \alpha\cap\beta=\emptyset.

Ako dve različite ravni imaju zajedničku tačku, po Aksiomi 6 njihov presek je prava.

Preseci paralelnih ravni

Ako treća ravan $\gamma$ seče dve paralelne ravni $\alpha$ i $\beta$ , presečne prave su paralelne.

Primer dokaza kontradikcijom: Neka je $a=\alpha\cap\gamma$ i $b=\beta\cap\gamma$ , pri čemu je $\alpha\parallel\beta$ .

Prave $a$ i $b$ pripadaju ravni $\gamma$ . Pretpostavimo da nisu paralelne. Tada bi se sekle u nekoj tački $P$ . Pošto je $P\in a$ , bilo bi $P\in\alpha$ . Pošto je $P\in b$ , bilo bi $P\in\beta$ . Ravni $\alpha$ i $\beta$ imale bi zajedničku tačku, što je nemoguće jer su paralelne. Zato je $a\parallel b$ .

Iz istog razmišljanja dobijamo još dva korisna zaključka:

prave koje pripadaju dvema paralelnim ravnima ne mogu se seći;
svaka prava jedne od dve paralelne ravni paralelna je drugoj ravni.

Ako su dve prave paralelne istoj ravni, one ne moraju biti paralelne međusobno. Na primer, dve prave u ravni poda mogu da se seku, iako su obe paralelne ravni plafona.

Slično, dve ravni paralelne istoj pravoj ne moraju biti paralelne međusobno. Pod i zadnji zid prostorije seku se, iako su oba paralelna prednjoj ivici plafona.

Započni učenje

Online časovi