327

Prema definiciji paralelnih pravih, pošto su prave $a$ i $b$ različite i paralelne, postoji ravan $\alpha$ koja ih sadrži. Ovim je dokazano postojanje takve ravni.

Sada dokazujemo jedinstvenost te ravni. Na osnovu Aksiome 1, prava $a$ sadrži najmanje dve različite tačke. Neka su to tačke $A$ i $B .$ Prava $b$ takođe sadrži najmanje jednu tačku, neka je to tačka $C .$

Dokažimo da su tačke $A ,$ $B$ i $C$ nekolinearne. Ako bi bile kolinearne, pripadale bi istoj pravoj. Kako $A, B \in a ,$ ta prava bi morala biti $a .$ Međutim, prave $a$ i $b$ su paralelne i različite, pa nemaju zajedničkih tačaka.

Pošto $C \notin a ,$ tačke $A ,$ $B$ i $C$ ne pripadaju istoj pravoj, odnosno nekolinearne su. Prema Aksiomi 3, svake tri nekolinearne tačke određuju tačno jednu ravan. Neka je to ravan $\beta .$

Neka je $\gamma$ bilo koja ravan koja sadrži prave $a$ i $b .$ Pošto sadrži te prave, ona mora sadržati i sve njihove tačke, pa samim tim i tačke $A ,$ $B$ i $C .$

Kako ravan $\gamma$ sadrži tri nekolinearne tačke $A ,$ $B$ i $C ,$ a te tačke (prema Aksiomi 3) određuju tačno jednu ravan, sledi da ravan $\gamma$ mora biti jednaka ravni $\beta .$