Trigonometrijski limes: tg 6x kroz tg 2x

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\tg 6x}{\tg2x}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{x}=\frac {\sin{x}} {\cos{x}}$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{\sin 6x}{\cos6x}}{\frac{\sin2x}{\cos2x}} \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{\sin 6x\cos2x}{\sin2x\cos6x}

Raščlaniti izraz.

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\sin 6x}{\sin2x}\cdot \lim_{{x} \to {0}}\frac{\cos2x}{\cos6x}

Podeliti brojilac i imenilac prvog razlomka sa $x.$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{\sin 6x}x}{\frac{\sin2x}x}\cdot \lim_{{x} \to {0}}\frac{\cos2x}{\cos6x}

Pomnožiti brojilac prvog razlomka sa $\frac66,$ a imenilac sa $\frac22.$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{\sin 6x}x\cdot\frac66}{\frac{\sin2x}x\cdot\frac22}\cdot \lim_{{x} \to {0}}\frac{\cos2x}{\cos6x} \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{\frac{\sin 6x}{6x}\cdot6}{\frac{\sin2x}{2x}\cdot2}\cdot \lim_{{x} \to {0}}\frac{\cos2x}{\cos6x}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

\frac62\cdot\lim_{{x} \to {0}}\frac{\cos2x}{\cos6x} \\ 3\cdot\lim_{{x} \to {0}}\frac{\cos2x}{\cos6x}

Zameniti $x=0$ i uvrstiti vrednost trigonometrijske funkcije.

3\cdot\frac{\cos0}{\cos0} \\ 3\cdot \frac11\\ 3

$\lim_{{x} \to {0}}\frac{\tg 6x}{\tg2x}$